Similitude/Exercices/Écriture complexe

Écriture complexe
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Exercices no2
Leçon : Similitude

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Échauffement
Exo suiv. :Images d'ensembles
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Similitude/Exercices/Écriture complexe
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Exercice 2-1

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Ci-dessous, on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation   qui à un point d'affixe   associe un point d'affixe  . Reconnaissez   et précisez ses éléments caractéristiques :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.  .

Exercice 2-2

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Dans le plan complexe, on donne les quatre points  ,  ,   et   d'affixes respectives :

 ,  ,   et  .

 Soit   la similitude qui, à tout point d'affixe  , fait correspondre le point d'affixe  .

a)  Donnez les éléments de cette similitude : rapport, angle et centre.
b)  Quelle est l'image par   du point   ? du point   ? Montrez que les vecteurs   et   sont orthogonaux.

 Soit   la similitude directe déterminée par   et  .

a)  Trouvez la relation liant l’affixe   d'un point   et l'affixe   de son image  .
b)  Donnez les éléments de cette similitude.
Montrez que les vecteurs   et   sont orthogonaux.
c)  Que représente le point   pour le triangle   ?

Exercice 2-3

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  est la transformation dont l'écriture complexe est :

 .

 Déterminez l’ensemble des nombres complexes   pour lesquels :

a)    est une translation ;
b)    est une rotation d'angle   ;
c)    est une homothétie de rapport  .

 On suppose que  . Déterminez alors la nature de   et ses éléments caractéristiques.

Exercice 2-4

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Le plan est muni d'un repère orthonormé direct  . On considère le point   de coordonnées   et le point   de coordonnées  .

Soit   la similitude directe de centre  , d'angle   et de rapport  .

Soit   la similitude directe de centre  , d'angle   et de rapport  .

 Donnez l'écriture complexe de  , puis celle de  .

2°  a)  Quelle est la nature de la transformation   ?

b)  Précisez son point fixe et son écriture complexe.
c)  Soit   un point de coordonnées  . Exprimez les coordonnées   de   en fonction de   et  .

Exercice 2-5

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Dans le plan muni du repère orthonormal direct  , on considère les points   et  .

On désigne par :

  •   l'homothétie de centre   et de rapport   ;
  •   la rotation de centre   et d'angle   ;
  •   la translation de vecteur  .
  1. Construisez, après avoir donné une justification rapide, le point   du plan dont l'image par   est l'origine  .
  2. Quelle est la nature de la transformation   ? Donnez-en les éléments caractéristiques.

Exercice 2-6

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On considère dans   l'équation :

 .

 Montrez que cette équation admet deux solutions réelles (on les notera   et  , avec  ) et une solution imaginaire pure, notée  .

 Soit   une application telle que pour tout complexe   :   (  et   complexes).

a)  Déterminez   et   de telle sorte que :   et  .
b)  Calculez le module et l'argument de  .
c)  Caractérisez la transformation du plan complexe qui à tout point d'affixe   associe le point d'affixe  .

 

Si vous souhaitez faire d'autres exercices utilisant l'écriture complexe d'une similitude, cliquez sur ce lien vers une page d'exercices de la leçon « Complexes et géométrie ».