Similitude/Exercices/Écriture complexe
Exercice 2-1
modifierCi-dessous, on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation qui à un point d'affixe associe un point d'affixe . Reconnaissez et précisez ses éléments caractéristiques :
- ;
- ;
- ;
- .
est la similitude directe de rapport , d'angle et dont le centre a pour affixe , avec :
- , , ;
- , , ;
- , (homothétie de rapport ), ;
- , (homothétie de rapport ), .
Exercice 2-2
modifierDans le plan complexe, on donne les quatre points , , et d'affixes respectives :
- , , et .
1° Soit la similitude qui, à tout point d'affixe , fait correspondre le point d'affixe .
- a) Donnez les éléments de cette similitude : rapport, angle et centre.
- b) Quelle est l'image par du point ? du point ? Montrez que les vecteurs et sont orthogonaux.
2° Soit la similitude directe déterminée par et .
- a) Trouvez la relation liant l’affixe d'un point et l'affixe de son image .
- b) Donnez les éléments de cette similitude.
- Montrez que les vecteurs et sont orthogonaux.
- c) Que représente le point pour le triangle ?
1° a) est la similitude directe de rapport , d'angle et de centre le point d'affixe .
- b) , et (l'angle de la similitude).
2° a) avec déterminés par et , soit et .
- b) est la rotation d'angle et de centre le point d'affixe . (l'angle de la rotation).
- c) est l'orthocentre de .
Exercice 2-3
modifierest la transformation dont l'écriture complexe est :
- .
1° Déterminez l’ensemble des nombres complexes pour lesquels :
- a) est une translation ;
- b) est une rotation d'angle ;
- c) est une homothétie de rapport .
2° On suppose que . Déterminez alors la nature de et ses éléments caractéristiques.
1° a) .
- b) .
- c) .
2° est la similitude directe de rapport , d'angle et de centre le point d'affixe .
Exercice 2-4
modifierLe plan est muni d'un repère orthonormé direct . On considère le point de coordonnées et le point de coordonnées .
Soit la similitude directe de centre , d'angle et de rapport .
Soit la similitude directe de centre , d'angle et de rapport .
1° Donnez l'écriture complexe de , puis celle de .
2° a) Quelle est la nature de la transformation ?
- b) Précisez son point fixe et son écriture complexe.
- c) Soit un point de coordonnées . Exprimez les coordonnées de en fonction de et .
1° L'écriture complexe de est : . Celle de est : .
2° a) est une rotation d'angle , c'est-à-dire une symétrie centrale.
- b) L'écriture complexe de est par conséquent où est l'affixe de son point fixe, donc , or
- , donc
- .
- c) et .
Exercice 2-5
modifierDans le plan muni du repère orthonormal direct , on considère les points et .
On désigne par :
- l'homothétie de centre et de rapport ;
- la rotation de centre et d'angle ;
- la translation de vecteur .
- Construisez, après avoir donné une justification rapide, le point du plan dont l'image par est l'origine .
- Quelle est la nature de la transformation ? Donnez-en les éléments caractéristiques.
- donc a pour affixe .
- est la similitude directe de rapport et d'angle qui envoie sur . Son expression complexe est donc . Par conséquent, l'affixe de son centre est
.
Exercice 2-6
modifierOn considère dans l'équation :
- .
1° Montrez que cette équation admet deux solutions réelles (on les notera et , avec ) et une solution imaginaire pure, notée .
2° Soit une application telle que pour tout complexe : ( et complexes).
- a) Déterminez et de telle sorte que : et .
- b) Calculez le module et l'argument de .
- c) Caractérisez la transformation du plan complexe qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe .
1° , , .
2° a) La solution de est .
- b) et .
- c) C'est la similitude directe de rapport , d'angle et dont le centre a pour affixe .
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