Complexes et géométrie/Exercices/Étude de figures

Étude de figures
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Exercices no7
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Similitude
Exo suiv. :Suite de points
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Exercice 7-1

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Dans le plan complexe, on considère les points  ,   et  , d'affixes respectives

 .

 Calculez   et  .

 Démontrez que   est un trapèze rectangle.

Exercice 7-2

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct  . Unité graphique : 8 cm. On note   le milieu du segment  .

Soit   la rotation de centre   et d'angle de mesure  . Pour tout point   du plan d'affixe  , on note   le transformé de   par  .

 a)  Placez sur une figure les points  ,  ,  ,   et   lorsque  .

b)  Déterminez l'image du segment   par  .
c)  Calculez l’affixe   de   en fonction de l'affixe   de  .

 On note   le milieu du segment  ,   le milieu du segment   et   le milieu du segment  .

a)  Exprimez en fonction de   les affixes   et   des vecteurs   et  .
b)  Prouvez que le triangle   est rectangle et isocèle.
c)  Lorsque  , placez le triangle   sur la figure précédente.

Exercice 7-3

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 Déterminez le module et un argument des deux nombres complexes

  et  .

 Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct  , on note   le point d'affixe   et   le point d'affixe  .

a)  La rotation   de centre   et d'angle   radians transforme le point   en un point   d’affixe  .
Démontrez que  .
b)  Démontrez que le quotient   est imaginaire pur.
Calculez le module et un argument de ce quotient.
Interprétez géométriquement ces résultats en indiquant les particularités du triangle  .

Exercice 7-4

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Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points distincts  ,   et   d'affixes respectives  ,   et  .

 À quelle condition nécessaire et suffisante, portant sur   et  , les points  ,   et   sont-ils alignés ?

On suppose dans la suite que les points  ,   et   ne sont pas alignés.

 On construit les carrés orientés dans le sens direct   et  , puis le parallélogramme  .

a)  En considérant la rotation de centre   qui transforme   en  , montrez que l'affixe du point   est  .
b)  Calculez les affixes respectives  ,   et   des points  ,   et   en fonction de   et  .

 Déduisez du que :

a)    et que les droites   et   sont perpendiculaires.
b)    et que les droites   et   sont perpendiculaires.

Exercice 7-5

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On considère le polynôme   défini par    désigne une variable complexe.

 Montrez que l’équation   admet une solution réelle notée  , et une solution imaginaire pure notée  .

 Déterminez le complexe   tel que :

 .

 On désigne par  ,   et   les points du plan complexe dont les affixes sont respectivement  ,   et  .

Calculez   et déduisez-en la nature du triangle  .

Exercice 7-6

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 Exprimez   en fonction de  , puis   en fonction de   et  .

 Résolvez dans   l'équation :

 
  désigne l’inconnue et   un réel non nul de l’intervalle  .

 Déterminez le module et l’argument de chacune des racines   et  .

 On désigne par   et   les points d'affixes   et  .

Déterminez les réels non nuls   tels que le triangle   est isocèle et rectangle en  .

Exercice 7-7

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Soit   un réel de l'intervalle  .

 Résolvez dans   l'équation :

 .
Donnez chaque solution sous forme trigonométrique.

   et   sont les images ponctuelles des solutions.

Déterminez   de telle sorte que le triangle   soit :
a)  rectangle ;
b)  équilatéral.

Exercice 7-8

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Le plan complexe   est muni d'un repère orthonormal  .

 Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de l’application   qui, à tout point   d'affixe  , associe le point   d'affixe  .

   est le milieu du segment  . Exprimez l'affixe de   en fonction de l’affixe   de  , et de  .

Déduisez-en, toujours en fonction de   et  , la distance  .

 Trouvez une équation cartésienne de l'ensemble   des points   de   dont l’affixe   vérifie :

 .
Représentez l'ensemble   dans un repère   avec   et  .