Complexes et géométrie/Exercices/Étude de figures
Exercice 7-1
modifierDans le plan complexe, on considère les points , et , d'affixes respectives
- .
1° Calculez et .
2° Démontrez que est un trapèze rectangle.
1° et .
2° est un trapèze car . Il est rectangle en car .
Exercice 7-2
modifierLe plan est muni d'un repère orthonormal direct . Unité graphique : 8 cm. On note le milieu du segment .
Soit la rotation de centre et d'angle de mesure . Pour tout point du plan d'affixe , on note le transformé de par .
1° a) Placez sur une figure les points , , , et lorsque .
- b) Déterminez l'image du segment par .
- c) Calculez l’affixe de en fonction de l'affixe de .
2° On note le milieu du segment , le milieu du segment et le milieu du segment .
- a) Exprimez en fonction de les affixes et des vecteurs et .
- b) Prouvez que le triangle est rectangle et isocèle.
- c) Lorsque , placez le triangle sur la figure précédente.
- b) .
- c) . Pour , .
2° a) , , , , .
- b) .
- c) Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?
Exercice 7-3
modifier1° Déterminez le module et un argument des deux nombres complexes
- et .
2° Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct , on note le point d'affixe et le point d'affixe .
- a) La rotation de centre et d'angle radians transforme le point en un point d’affixe .
- Démontrez que .
- b) Démontrez que le quotient est imaginaire pur.
- Calculez le module et un argument de ce quotient.
- Interprétez géométriquement ces résultats en indiquant les particularités du triangle .
1° , , et .
2° a) .
- b) (module , argument ). est donc isocèle et rectangle en .
Exercice 7-4
modifierDans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points distincts , et d'affixes respectives , et .
1° À quelle condition nécessaire et suffisante, portant sur et , les points , et sont-ils alignés ?
- On suppose dans la suite que les points , et ne sont pas alignés.
2° On construit les carrés orientés dans le sens direct et , puis le parallélogramme .
- a) En considérant la rotation de centre qui transforme en , montrez que l'affixe du point est .
- b) Calculez les affixes respectives , et des points , et en fonction de et .
3° Déduisez du 2° que :
- a) et que les droites et sont perpendiculaires.
- b) et que les droites et sont perpendiculaires.
1° .
2° a) .
- b) .
- .
- .
3° a) .
- b) et ;
Exercice 7-5
modifierOn considère le polynôme défini par où désigne une variable complexe.
1° Montrez que l’équation admet une solution réelle notée , et une solution imaginaire pure notée .
2° Déterminez le complexe tel que :
- .
3° On désigne par , et les points du plan complexe dont les affixes sont respectivement , et .
- Calculez et déduisez-en la nature du triangle .
1° En isolant partie réelle et partie imaginaire :
- un réel est racine de si et seulement si , c'est-à-dire ;
- un imaginaire pur est racine de si et seulement si , c'est-à-dire .
2° .
3° donc est isocèle et rectangle en .
Exercice 7-6
modifier1° Exprimez en fonction de , puis en fonction de et .
2° Résolvez dans l'équation :
- où désigne l’inconnue et un réel non nul de l’intervalle .
3° Déterminez le module et l’argument de chacune des racines et .
4° On désigne par et les points d'affixes et .
- Déterminez les réels non nuls tels que le triangle est isocèle et rectangle en .
1° et .
2° . Les solutions sont et .
3° et .
- Si , et .
- Si , et .
4° .
Exercice 7-7
modifierSoit un réel de l'intervalle .
1° Résolvez dans l'équation :
- .
- Donnez chaque solution sous forme trigonométrique.
2° et sont les images ponctuelles des solutions.
- Déterminez de telle sorte que le triangle soit :
- a) rectangle ;
- b) équilatéral.
1° .
2° a) ou .
- b) ou .
Exercice 7-8
modifierLe plan complexe est muni d'un repère orthonormal .
1° Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de l’application qui, à tout point d'affixe , associe le point d'affixe .
2° est le milieu du segment . Exprimez l'affixe de en fonction de l’affixe de , et de .
- Déduisez-en, toujours en fonction de et , la distance .
3° Trouvez une équation cartésienne de l'ensemble des points de dont l’affixe vérifie :
- .
- Représentez l'ensemble dans un repère avec et .
1° est un antidéplacement dont l'ensemble des points fixes est la droite d'équation . C'est donc la symétrie orthogonale par rapport à cette droite.
2° .
- .
3° (le carré de la distance de à la droite ).
- Si sont les coordonnées de dans le nouveau repère, on a
- donc
- et et l'équation de devient :
- .