Continuité et variations/Fonctions continues strictement monotones
Théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones modifier
Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle alors,
pour tout réel tel que ,
l'équation admet une solution unique dans .
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel tel que .
L'unicité de ce réel vient du fait que est strictement monotone donc injective. En effet, si par exemple est strictement croissante et si alors donc .
Par convention, les flèches d'un tableau de variation indiquent la stricte monotonie ; cela permet d'appliquer plus facilement ce théorème.
Extension du théorème à des intervalles ouverts modifier
Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ( et pouvant être infinis) alors,
pour tout réel tel que : ,
l'équation admet une solution unique dans
- Les limites aux bornes (éventuellement infinies) existent nécessairement en vertu de la monotonie de .
- On pourrait fabriquer un théorème semblable pour les intervalles semi-ouverts.
Soit la fonction définie sur par .
- Démontrer que admet une solution unique sur .
- Déterminer un encadrement de au dixième.
- En déduire le tableau de signe de sur .
- donc est strictement croissante. Il existe donc au plus un tel .
Pour montrer qu'il en existe un, on applique le théorème des valeurs intermédiaires : est continue, et . - .