Discussion:Équation du troisième degré

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Je tiens tout de suite à mettre un bémol à ce qui va suivre : je ne suis pas aussi méchant que je vais en avoir l'air, et surtout je suis loin d’avoir été aussi courageux pour rédiger des cours. J’ai fais une leçon et me suis arrété mais je viens de temps en temps voir les "modifications récentes" et essaie de corriger quelques erreurs ou d'apporter quelques précisions. Ce coup-ci je vois une lecon "équation de degré 3" qui m'interpelle (pourquoi n'est-ce pas simplement une sous partie d'un chapitre sur les polynômes ?). Je commence par l’introduction qui mentionne qu’à la différence des équations de degré deux on aura ici besoin des nombres complexes : quid de X^2+1 ?

Ensuite je vois que le chapitre historique n'existe hélas pas . Il était pourtant bien justifié par le fait que c’est en tentant de résoudre ces équations qu'on a symboliquement utilisé la racine de -1 pour au final, après simplification, parfois retomber sur des solutions réelles, motivant les gens à utiliser ce nombre "imaginaire". Si, a mes yeux, l'équation de degré 3 avait une importance historique je me demandais bien ce qu'on allait pouvoir en dire pendant toute une lecon. Autant l'équation de degré 2 arrive naturellement (par exemple equa diff lineaire du second ordre pour les physiciens), autant celle de degré 3, a part pour son aspect historique, me semblait n'intéresser que l'étudiant en math, mais vu le ton utilisé (pas de notion d'anneaux, de corps) je me suis dit que non.

Finalement je me dis que c’était destiné au lycéen zélé auquel cas je crains qu'un tel contenu ne le dégoute plus qu'autre chose et lui donne une mauvaise idée de ce que sont les mathématiques : une succession de raisonnements logiques, implacables le tout dans un cadre rigoureux. Ici je n'ai vu qu'une accumulation de formules obscures sorties du chapeau ; pas une seule preuve.

Sur quelques point de détail : définition d'une équation de degré 3 : il me semble que l'équation (x-1)^4 / (x-1) n’est pas une équation de degré 3. Elle peut s'y ramener et on trouve que 1 est solution de la nouvelle équation mais elle ne l'était clairement pas pour l'équation initiale.

Plutôt que d'acumuler les formules donnant les racines en fonction des coefficients il serait, me semble-t-il, plus intéressant de mentionner qu’elles ont le mérite d'exister, tout comme dans le cas du second degré. Éventuellement dire que c’est possible avec le degré 4 et que ca se corse (et pour cause) avec le degree 5 en général...

Bon courage pour la suite--Alex 5 janvier 2010 à 17:59 (UTC)

Bonjours,

Je vous remercie de votre avis. Je ne sais pas si vous vous en êtes rendu compte, mais vous êtes tombé sur un cours en pleine construction. Donc, il n’est pas encore fini. J’y travaille de temps en temps, mais mes activités ne me permettent pas d’aller très vite. Je ne travaille pas de façon linéaire sur ce cours. Je complète les chapitres au fur et à mesure de mon inspiration et je ne fais donc pas les choses dans l’ordre. Pour l’historique, c’est prévu, comme vous pouvez le constater dans le chapitre un, mais je pense que je ferais ce chapitre en dernier. Vous avez dû voir des théorèmes sans démonstration. Ne vous inquiétez pas, elles viendront, elles aussi, au fur et à mesure et les obscures formules sorties du chapeau seront prouvées. Vous parlez des pauvres lycéens qui vont lire ce cours. À ce propos, je pense que les équations du troisième degré n’ont jamais été vraiment au programme des lycées, j’ai donc mis le niveau 13 pour ce cours et il est donc prévu pour des étudiants en début d’enseignement supérieur. Ce cours n’est pas une sous-partie d’un chapitre polynôme, car quand je suis arrivée, il était déjà prévu comme sous chapitre du chapitre équation polynômiale, qui lui se trouve dans le département analyse et bizarrement pas dans le département algèbre où se trouve les polynômes. Mais bon, cette organisation est indépendante de ma volonté. En ce qui concerne (x-1)^4 / (x-1), je ne sais pas où vous avez vu cela, je n’ai pas réussi à retrouver.

"Une équation du troisième degré est une équation qui, lorsqu’on a développé, réduit, mit au même dénominateur, multiplié les deux membres par le dénominateur commun et mis tous les termes dans le premier membre, se met sous la forme :" bon alors je prend l'exemple $(x-1)^3/(x-1)=0$ le dénominateur commun est $(x-1)$ et on tombe en multipliant par celui-ci sur $(x-1)^3=0$. En aucun cas l'équation originale est polynomiale. Si vous vous adressez à un étudiant du supérieur mieux vaut lui dire ce qu'est un polynome en general, ce qu'est le degre en général (on peut mentionner que dans le cas d'anneaux integres le degre majore le nombre de racines), ce qu'est une fonction polynomiale en générale (la y a des chose à dire si le corps est fini ou non), ce que c’est que résoudre l'équation dans une "extension" de l'anneau... bref le coté "3", n'apporte quasiment rien (a part l'aspect historique et la possibilité d'exprimer en général les racines en fonction des coefficients, ce qui amène au probleme de la résolubilité)... mais bon peut-être que vous réussirez à me convaincre...Alex 16 janvier 2010 à 10:30 (UTC)

J’ai bien du mal à vous suivre ? Essayez-vous de me dire que les équations du troisième degré ne sont qu'une curiosité historique ou un concept théorique abstrait en rapport avec le problème de la résolubilité. Essayez-vous de dire que les équations du troisième degré ne servent à rien concrètement. Si c’est le cas, je vous propose d'essayer de résoudre, sans utiliser d'équations du troisième degré, les trois problèmes que j’ai posés dans : Équation du troisième degré/Exercices/Résolution de problèmes du troisième degré. D'autre part vous me parler d'équations polynômiales alors que dans la définition des équations du troisième degré que j’ai donnée, je n'ai pas spécifié polynômiale. Une équation du troisième degré est, en ce qui me concerne, une équation dont la résolution peut se ramener à la résolution de l'équation polynômiale ax3 + bx2 + cx + d = 0 même si au départ, il y a dans les deux membres des expressions qui ne sont pas polynômiales. On pourrait même envisager comme étant du troisième degré une équation du type :

$a.e^{3x}+b.e^{2x}+c.e^{x}+d=0~$

C'est-à-dire une équation ou, pour se ramener à une équation polynômiale du troisième degré, il faudrait faire un changement de variable du type :

$X=e^{x}~$

(Vous me donnez une idée. Je vais peut-être rajouter un exercice de ce type.)

Toutefois, votre intervention reste intéressante. Peut-être ai-je mal formulé la définition des équations du troisième degré. Je vais y réfléchir et essayer de voir si je peux la modifier pour qu'elle soit plus compréhensible. Je reste ouverte à vos propositions.

Vous parlez aussi d'expliquer aux étudiant ce qu'est le degré en général, ce qu'est un anneaux intègre, Ce qu'est un corps fini ou non, de parler d'extension d'anneau. Tout ceci me semble faire parti d'un cours plus général sur l'algèbre commutative, théorie de Galois ou autre qui se trouverait, il me semble, au niveau 16 et n'a pas grand chose à voir avec mon modeste cours plus spécialisé au niveau 13 sur les équation de troisième degré. Je pense qu'un tel cours existera sur la wikiversité un jour ou l'autre et je vous engage à le faire si cela vous interresse dans le département algèbre. Mais permettez moi pour le moment de me limiter au côté "3" même s'il n'apporte quasiment rien à vos yeux.

Avec mon meilleur sentiment. --Lydie Noria 16 janvier 2010 à 14:41 (UTC)

Ne vous inquiétez pas pour les exercices sans solution, je les rajouterai au fur et à mesure et si je me rends compte qu’il y a des erreurs, je corrigerai.

Je vous invite à revenir jeter un coup d’œil sur ce cours dans quatre ou cinq mois et j’espère que vous y trouverez le cours le plus complet et le plus parfait que vous n’ayez jamais vu sur les équations du troisième degré.

Bien cordialement.--Lydie Noria 6 janvier 2010 à 20:35 (UTC)

Bonjour. Est-ce vous qui avez lancé la leçon vide : "équation du 4° degré" ? Cordialement

7 octobre 2010 à 18:48 (UTC)

Non, ce n’est pas moi qui ait lancé la leçon vide : "équation du 4° degré". Je m'en suis un peu occupé dernièrement mais ce n’est pas moi qui l'ai créée ! je pense m'en occupé un peu à l'avenir mais j’espère que d'autres contributeurs y participeront car ce sera un boulot considérable. Il va y avoir pas mal de difficultés à surmonter. Cordialement. --Lydie Noria 7 octobre 2010 à 20:03 (UTC)

Bonjour. Je voulais juste signaler qu'une autre méthode de résolution des équations du 3° degré existait. Il s'agit de celle de la transformation de Tschirnhaus. Elle est plus longue et pus calculatoire que celles que vous avez présentées : Cardan et Sotta, mais présente l'avantage d’éviter l'extraction de racine cubique de complexe, peu importe l'équation de départ. On est ainsi toujours capables de présenter les solutions sous forme algébrique quand elles sont complexes, et d'éliminer les "i" quand les solutions sont réelles, ce qui est un atout de taille. Ne voulant pas perturber votre cours déjà très complet, à vous de décider si cette méthode peut rentrer dans le cadre de celui-ci ou non. Cordialement. 90.18.28.43 25 octobre 2010 à 13:54 (UTC)

Je suis sceptique. Je ne crois pas que la méthode de Tschirnhaus puisse éviter l'extraction de racine cubique pour toutes équations du troisième degré. Ce que vous me dites me paraît trop beau pour être vrai. Pouvez-vous me faire une démonstration avec une équation dont les méthodes de Cardan et Sotta donnent les solutions en fonction de racines cubiques de complexes que l’on ne peut pas extraire comme l'équation :

$x^{3}-x^{2}-2x+1=0~$

Si vous y arrivez, vous aurez trouvez la valeur exacte de 2cos(π/7) sans racine cubique de nombre complexe, ce qui sera une belle performance ! Bien cordialement. --Lydie Noria 1 novembre 2010 à 21:20 (UTC)

Bonjour. La méthode de Tshirnhaus ne permet pas de se passer des racines cubiques complexes. Dans le cas général, pour résoudre une équation de la forme x³+px+q=0, on passe à un moment donné par le calcul d'un discriminant valant 81q²+12p³. Si ce nombre est positif, il n'y aura effectivement pas de racine cubique complexe , ce qui n’est pas le cas s'il est négatif. Je pense donc que cette méthode n'a pas de grand intérêt pour les équations du degré 3 car trop compliquée mais que son intérêt est de se placer comme une méthode générale de résolution d'équations polynomiales, qui aboutit tant que le degré est inférieur à 5. Cordialement. 90.18.31.135 3 novembre 2010 à 13:19 (UTC)

Mais, si vous affirmez que l’on est capable de fabriquer" une formule donnant les racines cubiques complexes (que je ne connais pas), il est bien possible d'exprimer des cosinus comme 2cos(pi/7), non ?

Oui, mais dans cette formule de racine cubique de nombre complexe, la partie réelle et la partie imaginaire de la racine cubique s'exprimeront aussi à l'aide de racine cubique de nombres complexes, donc on tourne en rond. Très cordialement. --Lydie Noria 7 novembre 2010 à 13:56 (UTC)

Peut-être qu'en étudiant telle équation avec les 4 méthodes, il est possible d’en trouver une (ou plusieurs) qui débouche sur un delta positif pour cette équation particulière, et évite donc l'extraction de racines cubiques de nombres complexes. alors que pour une autre il faudrait utiliser une autre des 4 méthodes. Est-il possible que les méthodes se "complètent" ?

Si c’était possible, quelqu’un l'aurait déjà fait depuis longtemps !--Lydie Noria 29 novembre 2010 à 17:25 (UTC)

Bonjour. Finalement les méthodes que vous présentez s'appliquent pour des coefficients réels. Serait-il possible de rajouter un chapitre traitant le cas complexe ? Je pense que cela peut-être intéressant pour par exemple résoudre des équations du 4° degré qui peuvent faire appel à des résolvantes à coefficients complexes, et aussi de bien boucler un cours qui est déjà très complet et synthétique grâce à votre engagement. Merci encore pour cet excellent cours ! 195.6.234.195 6 janvier 2011 à 19:11 (UTC)

Je ne comprends pas ce que vous dites. Toutes les méthodes que j’ai mises dans ce cours peuvent s'utiliser avec des coefficients complexes(sauf, peut être, les méthodes trigonométriques, faut voir la trigonomètrie des nombres complexes en analyse complexe qui dépasse le niveau 13). Je ne vois pas quoi dire de plus si les coefficients sont complexes. Si l’on n'arrive pas à résoudre une équation à coefficients complexes sous forme agréable, ce n’est pas la faute de la méthode, mais cela est dù à la nature des calculs complexes. Si, par exemple, on n'arrive pas à extraire une racine cubique d'un nombre complexe parce que l'équation du troisième degré de l'encadré début chapitre 5 n'a pas de racines simples, c’est tout simplement parce que les racines cubiques en questions ne s'expriment pas explicitement avec partie réelle et imaginaire s'exprimant simplement à l'aide de radicaux et sauf erreur de ma part, aucune autre méthode ne permettra de le faire. Je profite aussi de l’occasion pour signaler que je ne fais pas de la rétention d'information. J’ai mis dans ce cours le maximum que j’ai pu y mettre compte tenu de mes compétences et en raclant les fonds de tiroir. Croyez bien que si je trouvais une information supplémentaire concernant les équations du troisième degré, je m'empresserais de la rajouter au cours. Je pense qu’il doit être possible de rajouter des chapitres à ce cours, mais il faudra pour cela que vous attendiez qu'un contributeur ayant des connaissances sur la question daigne bien le faire. Je pense, par exemple, qu’il serait intéressant de rajouter un chapitre traitant des équations du troisième degré dans le cadre de la théorie de Galois (même si ce chapitre aurait un niveau supérieur au niveau 13), ce chapitre justifirait de la résolubilité des équations du troisième degré et classifierait les différentes méthodes déjà existantes. Malheureusement, mes connaissances en théorie de Galois sont trop succinctes pour que je puisse le faire moi-même. Je fais donc appel ici à un contributeur ayant une bonne connaissance de la théorie de Galois pour réaliser ce chapitre. J'espère que d'ici quelques années, quand la wikiversité sera aussi populaire que wikipédia, le nombre de contributeurs devrait augmenter considérablement et ce cours devrait en bénéficier. Très cordialement. --Lydie Noria 6 janvier 2011 à 20:39 (UTC)