Discussion:Module sur un anneau/Définitions

Choses qui devraient être ajoutées

Ces temps-ci, je travaille à un chapitre sur le produit tensoriel (qui sert parfois en théorie des groupes, voir par exemple le chapitre sur les groupes nilpotents). J'ai été ainsi amené à lire le présent chapitre sur les modules et à préciser que les anneaux nuls sont un peu "pathologiques". Dans le présent chapitre, on définit une famille libre d'éléments d'un module, mais on ne définit pas une partie libre d'un module. Pourtant, dans la démonstration de l'existence des bases d'un espace vectoriel, on raisonne sur des parties libres, et non des familles libres. Il me semble qu'il faudrait donc ajouter la définition d'une partie libre (Bourbaki, Algèbre, p. II. 25-26). De même, il faudrait distinguer entre partie basique et famille basique (même si, dans l'usage, on les appelle toutes deux bases). Enfin, il me semble qu'il faudrait démontrer que toutes les bases d'un même anneau commutatif non nul sont équipotentes. (Á l'aide d'un théorème de Krull qui dépend de l'axiome du choix, on le déduit facilement du théorème analogue sur les espaces vectoriels. Voir S. Lang, Algèbre, p. 517, où l'anneau R est supposé commutatif d'après la p. 513.) Je dis tout ça pour éviter de faire un travail inutile au cas où je n'aurais pas remarqué que mon programme est déjà exécuté ailleurs. Merci alors à qui me le signalerait. Marvoir (discuter) 27 février 2022 à 10:30 (UTC)

Bonjour Marvoir et bon travail ! cette leçon ébauchée par Ektoplastor est restée en friche et ton programme n'est pas fait ailleurs. Anne, 1/3/2022

Merci pour la réponse, Anne. Je vais étoffer le chapitre petit à petit, en disant souvent des choses du genre "la démonstration de ce théorème n'est pas encore rédigée". On verra jusqu'où j'irai. Marvoir (discuter) 2 mars 2022 à 06:58 (UTC)