Discussion:Théorie des groupes/Groupes, premières notions

Ordre d'un groupe

Il faudrait le définir quelque part, pour pouvoir y renvoyer par des liens là où c’est utilisé. Anne 13/4/15

On l'avait inexplicablement oublié. C'est fait, maintenant. Marvoir (discussion) 16 mai 2015 à 13:49 (UTC)

Image et préimage d'un sous-groupe par un homomorphisme de groupes

Ne serait-il pas intéressant de préciser qu'étant donné un morphisme de groupes $f:G\rightarrow H$, tant l'image d'un sous-groupe de G que la préimage d'un sous-groupe de H, sont des sous-groupes de H et de G respectivement. Il en découle alors la caractérisation de groupe de la préimage de l'élément neutre de H, ainsi que de l'image de f. Nous pouvons également s'en servir dans la démonstration concernant l'image d'un sous-groupe engendré, en notant que : $<A>\subseteq f^{-1}(<f(A)>)$ (car $f^{-1}(<f(A)>)$ est un sous-groupe contenant A); ce qui induit que : $f(<A>)\subseteq f(f^{-1}(<f(A)>))=<f(A)>$ (d'après la théorie des ensembles). Et je viens de constater que dans la deuxième démonstration qui est faite concernant ce dernier point dans la page de cours, on admet déjà que l'image réciproque d'un sous-groupe K de H qui contient f(A), est un sous-groupe de G qui contient A...

N'est-ce pas dit dans la section "Homomorphismes" ? (Je vous rappelle que sur les pages de discussion, on signe ses messages. Il suffit de taper quatre tildes : ~~~~ Marvoir (discussion) 23 septembre 2015 à 17:22 (UTC)

P.S. Bienvenue ! Je suis content que quelqu’un de compétent s'intéresse à ce cours de théorie des groupes. Marvoir (discussion) 24 septembre 2015 à 07:16 (UTC)

Je ne réussis pas à le voir. Êtes-vous sûr que ça soit dit dans la section "Homomorphismes" ? Hassan Rachidi (discussion) 1 octobre 2015 à 07:54 (UTC)

Dans la section "Homomorphismes", on lit ceci :

Si $f:G\rightarrow H$ est un morphisme de groupes, la préimage de l'élément neutre de H, appelée noyau de f, est un sous-groupe de G ; l'image de f est un sous-groupe de H.

Ces deux propositions ne sont-elles pas celles dont vous parlez ? Marvoir (discussion) 1 octobre 2015 à 11:47 (UTC)

L'image de f est l'image d'un sous-groupe particulier de G qui est G lui-même, tout comme le noyau de f est la préimage d'un sous-groupe particulier de H qui est son élément neutre. D'après moi, il aurait convenu de préciser de manière générale, qu'étant donné un morphisme de groupes de G vers H, l'image de tout sous-groupe de G et la préimage de tout sous-groupe de H, sont des sous-groupes de H et de G respectivement. Hassan Rachidi (discussion) 2 octobre 2015 à 03:47 (UTC)

Désolé d’avoir mis tant de temps à comprendre. Je n’avais pas remarqué que dans le chapitre, il n'est question que de la préimage de l'élément neutre et de l'image de tout le groupe de départ. Vous avez raison, il faudrait donner ces deux énoncés sous la forme plus forte que vous indiquez. Je vous laisse faire, puisque c’est vous qui avez remarqué la lacune. Marvoir (discussion) 2 octobre 2015 à 07:05 (UTC)

C'est fait. Hassan Rachidi (discussion) 2 octobre 2015 à 07:52 (UTC)

Amélioration du paragraphe "Construction du groupe des entiers relatifs"

Bonjour,

Je voudrais apporter des modifications qui je pense amélioreront la lecture du paragraphe "Construction du groupe des entiers relatifs" Théorie des groupes/Groupes,_premières_notions#Construction_du_groupe_des_entiers_relatifs_.28ou_entiers_rationnels.29.

Voici comment ce paragraphe serait après ces modifications : <<
L'ensemble $\mathbb {N}$ des nombres naturels, muni de l'addition, est un monoïde commutatif où tout élément est simplifiable. Le seul élément de ce monoïde qui admette un opposé est 0. Nous allons montrer que $\mathbb {N} ,+$ peut être « plongé » dans un groupe. De façon générale, si M est un monoïde commutatif, on peut «plonger» M dans un monoïde commutatif plus grand, où tout élément est de la forme ms^-1, -que l’on notera (m / s) en notation multiplicative et (m - s) en notation additive,- m appartenant à M et s étant un élément simplifiable de M. On procède comme suit. Soit S l’ensemble des éléments simplifiables de M. Dans le produit cartésien $M\times S$, on considère la relation d'équivalence entre $(m_{1},s_{1})$ et $(m_{2},s_{2})$ définie par la condition $m_{1}s_{2}=m_{2}s_{1}$. On note m/s (en contexte multiplicatif) la classe d'équivalence de (m,s). On montre que, pour $m,n\in M$ et $s,t\in S$, la classe d'équivalence de (mn, st) ne dépend que des classes d'équivalence de (m,s) et (n,t), ce qui permet de munir l’ensemble quotient d'une loi de composition $\star$ qui peut être caractérisée par $m/s\star n/t=(mn)/(st)$. On munit ainsi l’ensemble quotient d'une structure de monoïde. Ce monoïde est noté $M_{S}$. Le monoïde M est isomorphe au sous-monoïde de $M_{S}$ formé par les éléments de la forme (m/1), m parcourant M. On identifie M à ce sous-monoïde de $M_{S}$ et on a donc bien «plongé» M dans un monoïde tel qu'annoncé. On vérifie par ailleurs que la classe m/s associée au couple (m,s) est identique à la classe associée au couple (ms^-1,1).
Si tout élément de M est simplifiable, S est égal à M tout entier et $M_{S}$ est un groupe. Nous étendons dans ce cas la notation a/b à tous les éléments a et b du groupe $M_{S}$, en convenant que $a/b=ab^{-1}$.
Dans le cas particulier où M est le monoïde additif $\mathbb {N}$, on plonge ainsi $\mathbb {N}$ dans un groupe commutatif noté ℤ, +, qu'on appelle groupe des entiers rationnels, ou des entiers relatifs.
Soient a, b deux nombres naturels, et soit n le nombre naturel constituant l'écart entre a et b. Ainsi a+n=b ou bien a=b+n, selon que $a\leq b$ ou bien $b\leq a$. L'élément (a-b) de ℤ peut donc s'écrire d'une des deux façons (0-n), (n-0) avec n naturel (selon que $a\leq b$ ou $b\leq a$). On en tire que tout élément de ℤ est égal à un élément de la forme -n ou n, avec n naturel (si on identifie comme ci-dessus $\mathbb {N}$ à un sous-monoïde de ℤ). Autrement dit, $\mathbb {Z} =\mathbb {N} \cup -\mathbb {N}$. On peut aussi montrer que 0 est le seul élément de ℤ qui appartienne à la fois à $\mathbb {N}$ et à $-\mathbb {N}$.
On a dans ℤ une relation d'ordre total

$a\leq b\Leftrightarrow b-a\in \mathbb {N}$

qui coïncide dans $\mathbb {N}$ avec la relation d'ordre usuelle dans $\mathbb {N}$. Cette relation d'ordre dans ℤ est dite relation d'ordre usuelle dans ℤ. Quand nous parlerons d'une relation d'ordre dans ℤ sans la préciser, il s'agira de celle-là.

Si r est un entier rationnel, il résulte d'une remarque ci-dessus que r ou -r est naturel et qu’ils ne le sont tous deux que si r = -r = 0. On appelle valeur absolue de r et on note $\ \vert r\vert$ l'unique entier naturel qui appartient à l’ensemble {r, -r}. C'est aussi le plus grand des deux entiers rationnels r et -r.

>> --Hassan Rachidi (discussion) 22 octobre 2015 à 16:19 (UTC)

Hassan Rachidi : Pourquoi ne le faîtes vous pas si c’est mieux que l'existant ? Crochet.david (discussion) 22 octobre 2015 à 16:28 (UTC)

En effet, je trouvais que deux points du paragraphe pouvait être facilement améliorés. Mais je suis juste un amateur en maths. C'est pourquoi je souhaite que d'autres valident mes améliorations avant de remplacer l'existant. -- Hassan Rachidi 218.80.1.165 23 octobre 2015 à 10:31 (UTC)

Bonjour. Il se peut que vous ayez raison, car je me souviens qu’à l'époque déjà lointaine où j’ai rédigé cette section, j’ai "expédié" cette matière que je trouve un peu fastidieuse. Mais pour m'épargne de faire moi-même la comparaison entre les deux versions, pourriez-vous préciser quels sont les passages de la version actuelle qui vous semblent insatisfaisants ou du moins améliorables ? Marvoir (discussion) 23 octobre 2015 à 12:59 (UTC)

Bonjour. Je vais insérer ma version. Ainsi le système vous montrera les changements par rapports à la version existante. L'essentiel des changements consistait à distinguer le couple (m,s) de sa classe associée m/s (m-s en notation additive). --218.80.1.165 23 octobre 2015 à 15:17 (UTC)

Votre premier ajout est : "On vérifie par ailleurs que la classe m/s associée au couple (m,s) est identique à la classe associée au couple (ms^-1,1)". Pour écrire cela, ne supposez-vous pas que s est inversible dans le monoïde ? (PS : n'oubliez pas de signer vos messages sur les pages de discussion.) Marvoir (discussion) 23 octobre 2015 à 16:04 (UTC)

Vous avez raison. Il est faux de le dire. Je vous remercie d’avoir identifié cette erreur. --Hassan Rachidi (discussion) 23 octobre 2015 à 17:01 (UTC)

Cette phrase erronée est maintenant corrigée et remplacée par : "On vérifie en effet (i) que tout élément simplifiable s de M est inversible dans $M_{S}$, (ii) que s^-1 est identique à la classe associée au couple (1,s), (iii) et que toute classe m/s associée au couple (m,s) est égale au produit ms^-1 dans $M_{S}$." --Hassan Rachidi (discussion) 23 octobre 2015 à 17:23

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dans w:Morphisme de groupes. Merci d'en tenir compte en cas de renommage. Anne, 11/4/2017