Discussion:Théorie des groupes/Groupes libres, premiers éléments

Dans la démonstration de l'énoncé 11,

Anne a remplacé la démonstration de (X et Y équipotentes entraîne F et G isomorphes) par ceci : "Par construction, si X et Y sont équipotentes, F(X) et F(Y) sont isomorphes. D'après l'énoncé 6, F et G sont alors isomorphes. " Mais la phrase "Par construction, si X et Y sont équipotentes, F(X) et F(Y) sont isomorphes." n'aurait-elle pas besoin d'une démonstration ? Marvoir (discuter) 10 décembre 2021 à 16:15 (UTC)

Je vois comment on peut faire, mais il me semble qu'il faut alors revenir à la définition de la loi de groupe de F(X), avec la lourdeur des réductions... Je trouve l'utilisation de la propriété universelle plus élégante. Peut-être pourrait-on indiquer les deux démonstrations ? Marvoir (discuter) 10 décembre 2021 à 16:59 (UTC)

Je trouve (long à écrire mais) complètement évident que toute bijection de X dans Y fournit un isomorphisme de F(X) dans F(Y) (c'est juste un "renommage" des lettres l'alphabet). Anne, 23 h 16

Ce qui me gêne dans la preuve par propriété universelle, c'est qu'elle répète quasiment mot pour mot celle du 1° ⇒ 2° de l'énoncé 5. Et je n'arrive pas à factoriser les deux en un lemme commun en amont. Anne, 11/12, 6 h 50

La nuit m'ayant porté conseil, j'en suis venu à penser que tu as raison. Peut-être pourrait-on dire qu'il existe une bijection $f$ de X sur Y et que si $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$ est un mot réduit sur X, alors $f(x_{1})^{\epsilon _{1}}\cdots f(x_{n})^{\epsilon _{n}}$ est un mot réduit sur Y. On a donc une application ${\bar {f}}$ de F(X) dans F(Y) qui envoie l'élément $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$ de F(X) sur l'élément $f(x_{1})^{\epsilon _{1}}\cdots f(x_{n})^{\epsilon _{n}}$ de F(Y) (on pourrait préférer les expressions sous forme de multiplets) et cette application ${\bar {f}}$ est une bijection de F(X) sur F(Y). On dirait ensuite que, compte tenu de la définition des lois de groupe de F(X) et de F(Y) (juxtaposition suivie d'éventuelles réductions), ${\bar {f}}$ est un homomorphisme de F(X) dans F(Y) et donc un isomorphisme de F(X) sur F(Y). Comme tu le dis, tout ça est évident, mais ça peut éviter que l'étudiant se contente d'une justification trop hâtive (oublier les réductions, par exemple). Pour que l'arbre ne cache pas la forêt, on pourrait peut-être mettre ce que je propose entre parenthèses après ta phrase "Par construction, F(X) et F(Y) sont isomorphes." Marvoir (discuter) 11 décembre 2021 à 12:07 (UTC)

Exos en attente

Je fais le ménage dans mes archives. Je dépose ci-dessous quelques exos, à annexer le moment venu (en les modifiant à volonté) à ton futur chapitre sur les présentations de groupes. Anne, 20/12

Exemples simples de présentations de groupes

1. Montrer que le groupe $\langle x,y,z\mid y^{2}zx^{-2}\rangle$ est libre et préciser son rang.
2. Montrer que le groupe $\langle x,y\mid x^{2},y^{3},xyx^{-1}y^{-1}\rangle$ est cyclique.
3. En considérant les permutations r = (1 2 3) et s = (1 2)(3 4), trouver une présentation de A₄ par deux générateurs et trois relations.

Solution

1. $\langle x,y,z\mid y^{2}zx^{-2}\rangle =\langle x,y,z\mid zx^{-2}y^{2}\rangle \simeq \langle x,y\mid ~\rangle$ est libre de rang 2.
2. $\langle x,y\mid x^{2},y^{3},xyx^{-1}y^{-1}\rangle$ est l'abélianisé de $\langle x,y\mid x^{2},y^{3}\rangle \simeq \langle x\mid x^{2}\rangle *\langle y\mid y^{3}\rangle \simeq \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}$. Cet abélianisé est (isomorphe à) $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}\simeq \mathbb {Z} _{6}$.
3. Remarquons d'abord que r est d'ordre 3, s d'ordre 2, (sr)³ = (2 4 3)² = 1 et {r, s} engendre A₄. Dans le groupe $G:=\langle a,b\mid a^{3},b^{2},(ba)^{3}\rangle$, tout élément peut s'écrire comme produit d'une alternance de a ou a² et de b, avec au plus un b (car bab = (aba)^-1 = a²ba² et ba²b = (bab)^-1 = aba). G est donc d'ordre au plus 12 = |A₄|, si bien que l'épimorphisme de G sur A₄ qui envoie a sur r et b sur s est un isomorphisme.

 

Présentations du groupe diédral

Soit $G=\langle r,s\mid r^{n},s^{2},(sr)^{2}\rangle$.

1. Montrer que $G$ a au plus $2n$ éléments.
2. Montrer que le groupe diédral $D_{2n}$ est isomorphe à un quotient de $G$.
3. Déduire des deux questions précédentes que $G$ est isomorphe à $D_{2n}$.
4. En déduire qu'une (autre) présentation de $D_{2n}$ est : $\langle x,y\mid x^{2},y^{2},(xy)^{n}\rangle$.

Solution

1. De la relation $sr=r^{-1}s$, on déduit que l'application $\mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{2}\to G,\;(i,j)\mapsto r^{i}s^{j}$ est surjective.
2. Soient a (d'ordre n) et b (d'ordre 2) les générateurs canoniques de $D_{2n}$. D'après le théorème sur les homomorphismes partant d'un groupe diédral, il existe un (unique) homomorphisme de $D_{2n}$ dans G qui envoie a sur r et b sur s. Cet homomorphisme est surjectif puisque son image contient les générateurs r et s.
3. Cet homomorphisme est donc bijectif, puisque $|G|\leq 2n=|D_{2n}|$.
4. $\langle r,s\mid r^{n},s^{2},(sr)^{2}\rangle =\langle t,s\mid (s^{-1}t)^{n},s^{2},t^{2}\rangle =\langle t,s\mid (st)^{n},s^{2},t^{2}\rangle$

 

Merci pour ces exercices. Tu parles de mon futur chapitre sur les présentations et, en effet, j'en ai annoncé un. J'ai cependant toujours remis à plus tard de le commencer, parce que les définitions des présentations données par Rotman et Robinson ne me semblent pas tout à fait rigoureuses. (Pour Robinson, p. 50, une présentation d'un groupe G est un homomorphisme surjectif d'un groupe libre sur le groupe G. Je ne suis pas sûr qu'il n'y a pas un peu plus dans une présentation...) La seule définition rigoureuse que j'aie rencontrée (et, me semble-t-il, la seule qui permette de rendre rigoureux certains passages de Robinson) est celle de Bourbaki. (Je me souviens d'ailleurs avoir lu sur Internet des réflexions qui allaient dans le même sens. L'auteur disait que les premiers exposés des présentations qu'il avait lus le mettaient mal à l'aise.) Comme je l'ai déjà dit, je travaille pour l'instant à deux chapitres sur les groupes abéliens (groupes abéliens divisibles et groupes abéliens de type fini). Le chapitre sur les groupes abéliens divisibles est à peu près terminé, mais je le publierai après celui sur les groupes abéliens de type fini, qui comporte des éléments utilisés dans un exercice sur les groupes abéliens divisibles. Je n'ai pas encore commencé le chapitre sur les groupes abéliens de type fini, je ne sais d'ailleurs pas s'il faut en faire un cas particulier des modules de type fini sur un anneau principal ou choisir une méthode plus "théorie des groupes", comme le font certains auteurs. Bref, ce n'est pas tout de suite que je créerai un chapitre sur les présentations. (J'ai dans mes papiers un chapitre que j'avais écrit à mon propre usage, mais il demanderait de gros remaniements pour être mis sur Wikiversité.) Comme je ne suis pas le maître de Wikiversité, je n'aurais pas d'objection à ce que tu crées le chapitre sur les présentations toi-même, mais je crois qu'il serait bon d'utiliser la définition de Bourbaki (même si cela crée des lourdeurs). Marvoir (discuter) 20 décembre 2021 à 13:10 (UTC)

Voici le texte sur Internet en question. Ma mémoire avait quelque peu déformé ce que l'auteur dit au début. En tout cas, il me semble qu'il donne la définition de Bourbaki pour une présentation, définition qui me semble être la bonne. Marvoir (discuter) 20 décembre 2021 à 14:26 (UTC)