Théorie des groupes/Groupes diédraux

Début de la boite de navigation du chapitre
Groupes diédraux
Icône de la faculté
Chapitre no 25
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Produit semi-direct
Chap. suiv. :Holomorphe d'un groupe

Exercices :

Groupes diédraux
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorie des groupes : Groupes diédraux
Théorie des groupes/Groupes diédraux
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Groupe diédral ».

Les groupes diédraux comme produits semi-directs

modifier

Soient n un nombre naturel ≥ 1, A un groupe cyclique d'ordre n et B un groupe d'ordre 2. Ces deux groupes seront notés multiplicativement. Puisque A est commutatif, la permutation x ↦ x-1 de A est un automorphisme de A. Si nous désignons cet automorphisme par inv, nous avons inv2 = 1 (où 1 désigne l'automorphisme identique de A). On en tire facilement qu’il existe un et un seul homomorphisme de B dans Aut(A) (groupe des automorphismes de A) qui applique l'élément non neutre de B sur inv. Cet homomorphisme de B dans Aut(A), que nous désignerons par τ, peut être considéré comme une opération de B sur A par automorphismes (voir chapitre Produit semi-direct). L'application correspondante de B × A dans A est définie par   si b = 1 et   si b est l'élément de B distinct du neutre.

Supposons maintenant que A1 et A2 soient deux groupes cycliques d'ordre n et B1 et B2 deux groupes d'ordre 2. Soient τ1 et τ2 respectivement les homomorphismes de B1 dans Aut(A1) et de B2 dans Aut(A2) définis comme ci-dessus. Il existe un unique isomorphisme de B1 sur B2, que nous désignerons par σ. De plus, il existe au moins un isomorphisme de A1 sur A2 (voir le chapitre sur les groupes monogènes). Choisissons un tel isomorphisme, soit f.

Montrons que f et σ constituent un isomorphisme de l'opération τ1 sur l'opération τ2 (selon la terminologie introduite au chapitre produit semi-direct). Il s'agit de prouver que, pour tout élément a de A1 et tout élément b de B1,

 

Si b est l'élément neutre de B1,   est égal à a et (puisque σ(b) est l'élément neutre de B2)   est égal à f(a). Donc, si b est l'élément neutre de B1, les deux membres de (1) sont tous deux égaux à f(a), donc (1) est vraie dans ce cas.

Si maintenant b est l'élément de B1 distinct du neutre,   est égal à a-1 et (puisque σ(b) est l'élément de B2 distinct du neutre)   est égal à f(a)-1 ; ainsi, (1) revient à f(a-1) = f(a)-1 et est donc encore vraie.

Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que f et σ constituent un isomorphisme de l'opération τ1 sur l'opération τ2. Il en résulte (voir le chapitre Produit semi-direct) que l’application (a, b) ↦ (f(a), σ(b)) est un isomorphisme de groupes du produit semi-direct (externe)   sur le produit semi-direct (externe)  . (On pourrait évidemment le vérifier plus directement.) Ceci montre que, dans les notations et hypothèses ci-dessus, la structure de groupe de   est identique quel que soit le choix du groupe cyclique A d'ordre n et quel que soit le choix du groupe B d'ordre 2.


D'après ce qui précède, les groupes diédraux d'ordre 2n sont tous isomorphes entre eux. Pour ce motif, on dit couramment « le » groupe diédral d'ordre 2n, sans choisir explicitement un représentant particulier. « Le » groupe diédral d'ordre 2n se note D2n. (Certains auteurs[1] le notent Dn).

Remarque. Selon les définitions de certains auteurs[2], les groupes d'ordre 2 ne sont pas des groupes diédraux. Bourbaki[3] ne fait pas cette restriction.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarques.

  1. On pourrait tirer le point (ii) du point (i), en notant que sous les hypothèses du point (ii), les hypothèses générales sur G, a, b, H, x, y sont satisfaites par <x, y>, x, y, G, a, b, de sorte que, d'après (i), il existe un homomorphisme   de <x, y> dans G qui applique xsur a et y sur b. Si   désigne la corestriction de   à <x, y>, alors   fixe a et fixe b, donc, puisque a et b engendrent G,  , donc   est injectif, donc   est injectif.
  2. Si nous connaissions déjà les premiers éléments sur les présentations de groupes, nous pourrions montrer que, sous les hypothèses générales du théorème, le groupe G admet la présentation   ; le point (i) de l'énoncé s'obtient alors par application immédiate d'un théorème sur les présentations, le théorème de von Dyck[4].
  3. Nous déterminerons la structure du groupe Aut(D2n) (groupe des automorphismes de D2n) dans un exercice de la série Holomorphe d'un groupe.
  1. Le titre « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » donné au théorème qui précède s'explique par le corollaire qui suit.
  2. Les automorphismes de D2n seront identifiés dans un problème du chapitre suivant, « Holomorphe d'un groupe ».


Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque. Si n ≥ 3, l'hypothèse selon laquelle b n'appartient pas à <a> est entraînée par l'hypothèse bab = a-1. En effet, si b appartenait à <a>, il commuterait avec a, donc on aurait bab = bab-1 = a, d'où, d’après l'hypothèse bab = a-1, a-1 = a, d'où a2 = 1, ce qui est impossible puisque a est d'ordre n ≥ 3.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

Version géométrique des groupes diédraux

modifier

Soit n un nombre naturel ≥ 2, soit P un polygone régulier à n sommets. On admet que deux points distincts forment un polygone régulier à 2 sommets, bien que ce cas soit exceptionnel : par exemple un tel polygone n'a pas le même nombre de sommets (deux) et de côtés (un seul), contrairement aux polygones réguliers d'au moins trois sommets.

Si n = 2, nous appellerons centre du polygone P le milieu du segment de droite joignant les deux sommets. Si n ≥ 3, nous appellerons centre du polygone P l'unique point du plan qui est équidistant de tous les sommets. Nous désignerons ce centre par c.

Nous pouvons numéroter les sommets a0, ..., an-1, de sorte que, pour une rotation ϱ d'angle 2π/n autour du centre c de P, on ait ak+1 = ϱ(ak) pour tout k et donc ak = ϱk(a0) pour tout k. Nous pouvons étendre les indices à Z tout entier en posant, pour tout entier rationnel s, as = ar, où r désigne le reste de s par n.

Nous utiliserons le fait suivant :

Début d'un lemme
Fin du lemme
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarque. On peut montrer que si n est impair, les symétries axiales qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P ont pour axes les n droites cs, où c est le centre de P et où s parcourt les sommets de P. Si n est pair, les symétries axiales qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P ont pour axes tout d’abord les n/2 droites cs, où s parcourt les sommets de P (deux sommets opposés fournissant la même droite) et ensuite les n/2 droites cm, où m parcourt les milieux des côtés (deux côtés opposés fournissant la même droite).

Le groupe diédral d'ordre 2n comme groupe de permutations d'un ensemble à n éléments

modifier

Soit n un nombre naturel ≥ 3. Considérons un polygone régulier P à n côtés. D'après la section précédente, les isométries du plan qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P forment un groupe diédral d'ordre 2n, que nous désignerons par D2n. À toute isométrie appartenant à D2n, faisons correspondre sa birestriction à l’ensemble des sommets de P. Puisqu'une isométrie du plan est entièrement déterminée par ses valeurs en trois points non alignés, nous définissons ainsi un isomorphisme de D2n sur un groupe de permutations de l’ensemble des sommets de P (c'est-à-dire sur un sous-groupe du groupe des permutations de l’ensemble des sommets de P). Convenons de désigner ici par E2n ce groupe de permutations de l’ensemble des sommets de P. Si nous numérotons les sommets de 0 à n-1 « en tournant » dans le sens horlogique ou antihorlogique, nous définissons une bijection f de l’ensemble des sommets sur Z/nZ. D'après ce que nous avons vu au chapitre Groupes symétriques finis,

 

définit un isomorphisme du groupe E2n sur un groupe de permutations de Z/nZ. En composant les deux isomorphismes que nous avons construits, nous obtenons un isomorphisme σ de D2n sur un groupe de permutations de Z/nZ. Le lecteur courageux vérifiera que les images par σ des rotations appartenant à D2n sont les n translations de Z/nZ, c'est-à-dire les permutations de Z/nZ de la forme ta : x ↦ x + a, et que les images par σ des symétries axiales appartenant à D2n sont les permutations de Z/nZ de la forme sa : x ↦ a - x. Il en résulte que les ta et les sa forment un groupe de permutations de Z/nZ qui est un groupe diédral d'ordre 2n. Nous allons en donner une démonstration simple qui ne repose pas sur la version géométrique des groupes diédraux.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Groupes diédraux généralisés

modifier

Soit A un groupe abélien (fini ou infini), qu'on notera multiplicativement. Du fait que A est abélien, il résulte que la permutation   de A est un automorphisme. Cet automorphisme a pour carré (dans le groupe Aut(A) ) l'automorphisme identique, donc il existe un et un seul homomorphisme   du groupe   dans le groupe Aut(A) qui applique l'unique élément d'ordre 2 de   sur l'automorphisme   de A.

Le groupe diédral généralisé construit sur A se note Dih(A) (de l'anglais dihedral).

Si le carré de tout élément de A est égal à 1, ce qui, d'après le chapitre Groupes commutatifs finis, 1, revient à dire que A est un 2-groupe abélien élémentaire (autrement dit encore, une somme directe de groupes d'ordre 2), l'automorphisme   de A est l'automorphisme identique, donc, dans ce cas, le groupe Dih(A) n'est autre que le produit direct de A par   Certains auteurs[8] ne définissent Dih(A) que si A n'est pas un 2-groupe abélien élémentaire, mais nous ne les suivrons pas.

Si le groupe A est cyclique d'ordre n, Dih(A) est isomorphe (ou identique, selon les définitions) au groupe diédral d'ordre 2n.

On verra dans les exercices que certaines des propriétés des groupes diédraux démontrées plus haut s'étendent immédiatement aux groupes diédraux généralisés.

Notes et références

modifier
  1. Par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 121.
  2. Par exemple J. J. Rotman , An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 68.
  3. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 4, Paris, 1970, pp. 134-135.
  4. Voir J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e édition, tirage de 1999, p. 346.
  5. G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, p. 75.
  6. G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, prop. 46.6, p. 77.
  7. G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, prop. 45.3, p. 74.
  8. Par exemple W. R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, p. 215.