Discussion Recherche:Cardinal quantitatif

[Début Remarque]

Plutôt que de consulter cette page de discussion qui est brouillonne, peu organisée et peu structurée, consulter :

Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre

Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia

[Fin Remarque]

Liens

J'ai donné les liens concernés, de mes documents hébergés sur mon hébergeur de PDF, gratuit, mais ce dernier émet des publicités agressives et intempestives, avec des junkware(PUP) et des virus, en particulier, en utilisant le navigateur Mozilla Firefox associé au système Windows 10, mais pas, en utilisant ce même navigateur associé au système Ubuntu (Linux) : Ce qui est problématique. Déposer tout le contenu LaTeX des fichiers source de mes documents PDF, concernés, sur la Wikiversité, en effectuant toutes les modifications nécessaires, prend et prendra beaucoup de temps.~Guillaume FOUCART 22 octobre 2017 à 11:43 (UTC)

Bonjour, j'ai bien peur que vous deviez, de toute façon, transférer vos documents sur la Wikiversité. Le principe de la Wikiversité est que tout le monde puisse participer aux recherches et les améliorer. Si vos recherches sont ailleurs, et que vous vous contentiez de les désigner par des liens, les contributeurs de la Wikiversité n'ont pas la possibilité d'y participer et nous ne sommes plus dans la philosophie de la Wikiversité. Lydie Noria (discussion) 8 novembre 2017 à 15:33 (UTC)

Le transfert a été effectué et j'ai fusionné le contenu issu du fichier source LaTeX, correspondant au PDF traitant de la définition du cardinal quantitatif, avec le contenu qui était déjà présent sur la page de Recherche du Cardinal quantitatif. Reste à savoir si je dois modifier ou si je dois purger, en partie, les sections Avant propos 1, Avant propos 2, Avant propos 3 et Post propos (redondant), voire Introduction. ~Guillaume FOUCART 18 novembre 2017 à 17:22 (UTC)

Il me reste à inclure et à intégrer dans la page de recherche sur le cardinal quantitatif, la majeure partie des contenus des fichiers source LaTeX, correspondant aux documents PDF "Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$(25)" et "Suite 2 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$(9)". J'ai aussi un document PDF de recherche intitulé "Essence, existence, puissance d'interaction (philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne), version 1(37) et (38)", mais même s'il a un léger lien avec le cardinal quantitatif, il n'a rien à faire dans la page de recherche de ce dernier.~Guillaume FOUCART 19 novembre 2017 à 12:53 (UTC)

J'aimerais avoir un ou plusieurs avis, sur mes travaux de recherche sur le cardinal quantitatif. Combien de temps faudra-t-il que j'attende ? Normalement, il suffit d'avoir, au plus, une L3 de mathématiques, pour pouvoir les comprendre (à cause du fait qu'il faut connaître quelques notions de topologie [même si les variétés ne sont pas au programme de la L3, mes travaux exigent juste qu'on sache en avoir une représentation mentale], ainsi que les bases de la théorie de la mesure), et encore. ~Guillaume FOUCART 25 novembre 2017 à 14:42 (UTC)

Michel Coste n'a mis que quelques jours pour écrire son article informel de vulgarisation, final, intitulé La saga du "cardinal" version 4. C'est sans compter, que même si ce n'est pas son champ ou son domaine de recherche, à proprement parler, que d'autres membres ou d'autres collègues de son laboratoire l'IRMAR à l'Université de RENNES 1, travaillent sur des sujets, plus ou moins, connexes et qu'ils ont pu l'en informer lors de séminaires ou de discussions informelles. Par ailleurs, Michel Coste a plus d'expérience, de confiance et d'assurance que moi : Il m'aurait, sans doute, fallu beaucoup plus de temps et d'essais-erreurs que lui, pour pouvoir produire le même article que lui. Je fus étudiant à l'Université de RENNES 1, pendant 1 an, mais je n'ai pas osé, pour autant, rencontrer Michel Coste. De plus, ce dernier est à la retraite, depuis un bout de temps, maintenant. Si j'avais su, j'aurais pu aussi tenter de rencontrer les membres qui travaillent, plus ou moins indirectement, sur le sujet. Mais, je pourrais, aussi, tenter de les contacter par email. ~Guillaume FOUCART 25 décembre 2017 à 15:54 (UTC)

Une bannière d'avertissement indique que l'hébergeur que j'utilise pour héberger mes documents PDF et en particulier ceux dont j'ai fait figurer les liens dans ma page de recherche sur le "Cardinal quantitatif", émet des publicités, des junkwares et des virus.

Quel hébergeur gratuit de documents PDF me conseillez-vous, alors ?

Guillaume FOUCART (discussion) 31 janvier 2019 à 16:08 (UTC)

L'hébergeur en question est sérieux et émet plutôt des publicités intempestives voire agressives : Pour ne pas avoir de problème, il ne faut pas cliquer sur les publicités en question et parfois fermer la fenêtre où elles s'affichent, pour faire apparaître la bonne fenêtre. Étant donné le peu de documents que j'ai hébergés et que j'héberge sur mon hébergeur de PDF, je ne vais tout de même pas payer 5€/mois, pour qu'il n'y ait plus du tout de publicités.

Guillaume FOUCART (discussion) 27 mars 2020 à 12:27 (UTC)

Avis

Série de remarques 1 (sur "Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$/Partie 1")

J'aimerais avoir un avis sur et qu'on me signale les éventuelles erreurs que j'aurais commises dans la version actuelle de ma page de recherche, sur le cardinal quantitatif, voire qu'on me propose des améliorations possibles.

Remarque :

1) Si $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})$ et $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})$ et $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }\uparrow A_{n}=A}$,

on a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }A_{n}})=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}$,

que sous certaines conditions,

notamment (Cf. les PDF de Michel Coste), en particulier,

si $A\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$,

et si $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,A_{n}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$.

(Michel Coste dit plutôt : si $A\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, de classe ${\mathcal {C}}^{1}$, et si $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,A_{n}\in {{\mathcal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$).

Je tente de faire certaines généralisations.

Cela est, probablement, toujours, vrai,

si on remplace "${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$"

par "${PV}(\mathbb {R} ^{N})$",

ou par "réunion finie de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, disjointes",

[et peut-être même, en supposant que $A$ est une réunion (dénombrable [éventuellement, nécessairement, infinie]) de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, disjointes, et $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,A_{n}$ réunion finie de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$].

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.

2) Rappel :

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné et si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{N})$ et si ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{N})$ et telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ (Cf. définition).

Alors on a : Axiome ou Conjecture : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})=\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$.

[Début de Ancienne version d'un passage qui a été corrigé dans la version actualisée]

3) Supposons :

${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

$A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions (dénombrables [voire, nécessairement, infinies, non bornées]) de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$.

$I\,\,({\text{par exemple}}\,\,I=\mathbb {N} )\,\,\in {\cal {P}}(B)$ (ou telle que $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$). (On a donc, si $I=\mathbb {N}$, $\sup(I)=+\infty$.)

Il faut mieux choisir $I$ dénombrable infini.

Supposons de plus :

$(H_{1})$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$)"

et $(H_{2})$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$),

et telles que $\displaystyle {\exists x\in \mathbb {R} _{+}\bigcup +\infty ,\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}=x}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}$

[où on considère, ici, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$]".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$.

[Si $I=\mathbb {N}$,

soit $\varphi _{\,}\,:\,\,I\longrightarrow I$, strictement croissante,

c'est-à-dire ${{\Big (}u_{\varphi (n)}{\Big )}}_{n\in I}$ sous-suite de ${(u_{n})}_{n\in I}$.

Dans ce cas, on a bien : $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{\varphi (n)}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$.]

Supposons de plus :

$(H_{1})$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)"

et $(H_{2})$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)

et telles que $\displaystyle {\exists y\in \mathbb {R} _{+}\bigcup +\infty ,\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=y}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,v_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}$

[où on considère, ici, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$]".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}C_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}D_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}}$.

A-t-on (*) $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$ ?

Supposons que : $(H_{1})\Rightarrow (H_{2})$.

Si pour tous ${(A_{n})}_{n\in I}$, ${(B_{n})}_{n\in I}$ vérifiant $(H_{1})$,

et si pour tous ${(C_{n})}_{n\in I}$, ${(D_{n})}_{n\in I}$ vérifiant $(H_{1})$,

on a : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

(c'est-à-dire vérifiant (*))

Alors, on pose : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

[Fin de Ancienne version d'un passage qui a été corrigé dans la version actualisée]

Remarque :

D'après la page 2 de la source : http://www.cmap.polytechnique.fr/~lefebvre/SEMESTRE_EV2/Cours2.pdf,

$\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\uparrow {\Big [}0,1-{\frac {1}{n}}{\Big ]}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big [}0,1-{\frac {1}{n}}{\Big ]}=[0,1[}$

Donc, une limite de suite de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes] (et de dimension $1$), peut ne pas être compacte.

Mais $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\downarrow {\Big [}0,1+{\frac {1}{n}}{\Big ]}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big [}0,1+{\frac {1}{n}}{\Big ]}=[0,1]}$.

Remarque :

Si $A$ partie bornée, convexe, (connexe), de $\mathbb {R}$, de classe [$C^{0}$] et [$C^{1}$ par morceaux],

et si $f\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$,

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1])-1}}={\frac {{vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}{{vol}^{1}([0,1])}}={vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$.

Si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{N})$,

cette formule n'est, vraisemblablement, plus valable,

même si on attribue $\forall B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, non bornée, à ${vol}^{1}(B)$, une valeur plus précise que $+\infty$. Guillaume FOUCART (discussion) 17 août 2021 à 16:58 (UTC)

Série de remarques 2

Remarque : Michel Coste a dit, dans ses pdf, et, en tout cas, sur Les-mathematiques.net, qu'on pouvait approcher une partie de ${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, de classe $C^{1}$, par une suite de parties de ${{\mathcal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$. Mais, justement, comme les parties de ${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, de classe $C^{1}$, et les parties de ${{\mathcal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, sont aussi des parties de ${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, je me suis dit que ce que Michel Coste a dit, pouvait, vraisemblablement, s'étendre, aussi, au moins, aux parties de ${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, mais je n'en suis pas totalement certain.

Remarque : Quand on parle de partie (bornée) $A$ de classe ou de régularité $X$, on veut souvent dire, par là, que son bord $\partial A={\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$ est de classe ou de régularité $X$. De fait, en ce sens, toute partie bornée, convexe, (connexe) est, au moins, de classe $C^{0}$. Mais est-ce que c'est dans ce sens là que je veux en parler. Comment peut-on nommer ou parler du pourtour de la partie $A$, c'est-à-dire de la partie $A\setminus {\stackrel {\circ }{A}}\in {\cal {P}}(\partial A)$, et de sa classe ou de sa régularité ? Les intervenants remarque ou egoroff ou Steven Neutral, etc ..., sur Les-mathematiques.net, disent que si on ne s'est pas intéressé, jusqu'ici, à cette partie qui certes n'a rien d'extraordinaire, du point de vue définitionnel, mais pas plus que celle de bord, c'est qu'elle est sans intérêt. Il n'empêche que beaucoup de choses, sans intérêt, par le passé, peuvent finir par trouver un jour, un intérêt, voire un grand intérêt. De plus, si on veut parler de cardinal quantitatif qui est une mesure sur ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, et qui ne néglige aucun point, on est amené, à considérer les parties que les intervenants egoroff ou remarque ou Steven Neutral, etc ..., sur Les-mathematiques.net, considèrent comme sans intérêt.

Remarque : Pour mesurer l'aire d'une sous-variété de dimension $2$ de $\mathbb {R} ^{3}$ (respectivement la longueur d'une sous-variété de dimension $1$ de $\mathbb {R} ^{3}$, respectivement la quantité de points d'une sous-variété de dimension $0$ de $\mathbb {R} ^{3}$), la mesure volumique de dimension $3$ ou la mesure de Lebesgue sur $\mathbb {R} ^{3}$, ${vol}^{3}$, ne convient pas, il faut une mesure surfacique de dimension $2$ sur $\mathbb {R} ^{3}$, ${vol}^{2}$, (respectivement une mesure curviligne de dimension $1$ sur $\mathbb {R} ^{3}$, ${vol}^{1}$, respectivement une mesure de comptage de dimension $0$ sur $\mathbb {R} ^{3}$, ${vol}^{0}$), et je crois, sans en être certain, que la généralisation de la notion de mesure de comptage (respectivement curviligne, respectivement surfacique), etc ..., sur $\mathbb {R} ^{N}$, est une notion de mesure de Lebesgue généralisée et un cas particulier de la notion de mesure de Hausdorff. La littérature sur le sujet, semble faire défaut sur Google. ~Guillaume FOUCART modifié le 19 décembre 2019 à 22:08 (UTC)

Série de remarques 3 (à propos de la signification du symbole "$+\infty$")

En utilisant une définition non conventionnelle du nombre $+\infty$ :

${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=+\infty _{classique}$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} )=2(+\infty _{classique})$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})\neq {vol}^{1}(\mathbb {R} )$,

ou plus précisément : ${vol}^{1}(\mathbb {R} )=2\,\,{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} )\neq {vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})$.

Mais au lieu de considérer le point "$+\infty _{classique}$", peut-être faudrait-il alors plutôt considérer l'ensemble "$+\infty$" tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, pour lever toute contradiction, on aura alors :

${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})\in +\infty$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} )\in +\infty$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})\neq {vol}^{1}(\mathbb {R} )$,

ou plus précisément : ${vol}^{1}(\mathbb {R} )=2\,\,{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} )\neq {vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})$.

Mais il faudra alors poser $\mathbb {R}$ tout simplement,

où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )$.

$\displaystyle {\exists A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} _{+}),\,\,{vol}^{1}(A)\in +\infty }$,

et $\displaystyle {{vol}^{1}(A)={\frac {1}{2}}{vol}^{1}{\Big (}\mathbb {R} _{+}\setminus (0,1){\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})-1{\Big )}={\frac {1}{2}}{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})-{\frac {1}{2}}<{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})}$,

par exemple :

$\displaystyle {A=\bigcup _{i\in 2\mathbb {N} ^{*}}(i,i+1)}$

$\displaystyle {\exists B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} _{+}),\,\,{vol}^{1}(B)\in +\infty }$,

et $\displaystyle {{vol}^{1}(B)={\frac {1}{2}}{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})+{\frac {1}{2}}<{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})}$,

par exemple :

comme on a : $A\in {\mathcal {P}}{\Big (}\mathbb {R} _{+}\setminus (0,1){\Big )}$,

on peut définir : $\displaystyle {B={\Big (}\mathbb {R} _{+}\setminus (0,1){\Big )}\setminus A=\mathbb {R} _{+}\setminus {\Big (}(0,1)\bigcup A{\Big )}=\bigcup _{i\in 2\mathbb {N} +1})i,i+1(}$,

et on a : $\displaystyle {\mathbb {R} _{+}\setminus (0,1)=A\bigcup B}$ et $\displaystyle {A\bigcap B=\emptyset }$.

Guillaume FOUCART (discussion) 21 juin 2020 à 13:06 (UTC)

Remarque importante :

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "$\mathbb {R} =]-\infty _{classique},+\infty _{classique}[$" et que "$\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty _{classique},+\infty _{classique}]=\{-\infty _{classique}\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{+\infty _{classique}\}}$" où $-\infty _{classique},+\infty _{classique}$ sont considérés comme des points,

considérer que "$\mathbb {R} =]-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )[$" où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où $+\infty$ est considéré comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Mais cette notation est problématique et ambigüe,

car, on a une première interprétation s'inspirant de la notation classique qui donne :

"$\mathbb {R} =]-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )[$" et "$\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=[-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )]=\{-\sup(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{\sup(\mathbb {R} )\}}$" où $-\sup(\mathbb {R} )\in -\infty ,\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ sont des points,

et sinon on a une seconde interprétation qui donne :

$\displaystyle {]-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )[}$

$\displaystyle {=\{x\,\,|\,\,-\sup(\mathbb {R} )<x<\sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x>-\sup(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x<\sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {\neq \mathbb {R} }$

et qui donne :

$\displaystyle {[-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )]}$

$\displaystyle {=\{x\,\,|\,\,-\sup(\mathbb {R} )\leq x\leq \sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x\geq -\sup(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {\neq \{-\sup(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{\sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {={({\overline {\mathbb {R} }})}_{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )}}$

avec $-\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x<a\}$.

Et on a ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et $\exists A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} _{+})$ telle que ${vol}^{1}(A)\in +\infty$ et ${vol}^{1}(A)<{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )$

D'où la notation simple ${\Big (}$sans "$-\infty _{classique},+\infty _{classique}$", ni "$-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )$", ni "$-\sup(A),\sup(A)$" où $\sup(A)\in +\infty$${\Big )}$ : "$\mathbb {R}$" ("$\mathbb {R} _{+}$", "$\mathbb {R} _{-}$", "$\mathbb {R} ^{*}$", etc $\cdots$), pour désigner $\mathbb {R}$ ($\mathbb {R} _{+}$, $\mathbb {R} _{-}$, $\mathbb {R} ^{*}$, etc $\cdots$).

Guillaume FOUCART (discussion) 27 juillet 2020 à 19:32 (UTC) (version modifiée)

Série de remarques 4

Quand on voit un article de recherche en ou une thèse de mathématiques fini(e), on ne voit que la partie émergée de l'iceberg : On ne se doute pas de tout ce qui se passe en coulisse et de toutes les versions brouillonnes qu'on a dues produire, des erreurs, des impasses, des remises en question, des retours en arrière et des nouveaux chemins qu'on a été amené à prendre. Moi, je me suis fait punir, à cause du fait que j'ai publié des versions brouillonnes et non potables de mes travaux, sur 2 forums de mathématiques, et le problème est que si je ne l'avais pas fait, je n'aurais pas eu, entre autre, les conseils de Michel Coste, que je trouve cruciaux, même pour la généralisation de la notion de cardinal quantitatif, même s'il ne s'est pas rendu compte que les arguments qu'il a proposés pour les parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, peuvent, très vraisemblablement, aussi, s'étendre aux parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, qui peuvent aussi être vues, comme des limites croissantes de suites de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, moyennant la prise en compte du choix du plafonnement à l'infini, {associé à|de} chacune de ces parties de $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine d'un repère orthonormé (direct) de $\mathbb {R} ^{n}$. De plus, que les limites de suites de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, soient des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou des parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, cela concerne aussi bien les limites particulières de suites croissantes de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, qui sont des parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, que les limites particulières de suites croissantes ou décroissantes de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, qui sont des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Certes, dans un travail de recherche, il faut des démonstrations, mais là, certains résultats importants avaient déjà été établis auparavant par d'autres auteurs, et il s'agit, principalement, de donner les axiomes, les définitions et les résultats préparatoires nécessaires pour établir une définition du cardinal quantitatif et tenter de généraliser cette notion, ainsi que de donner des exemples, et il est nécessaire de se faire une idée du et de fixer et de discuter intuitivement le et d'affiner progressivement le cadre dans lequel on travaille ou dans lequel on travaillera. ~Guillaume FOUCART modifié le 21 mars 2019 à 12:11 (UTC)

Série de remarques 5 (sur les plafonnements à l'infini)

Pour tenter de généraliser la notion de cardinal quantitatif, mise à part une tentative de renotation plus appropriée de la notion de limite usuelle concernant les parties de $\mathbb {R} ^{n}$, d'une classe particulière, afin d'éviter les contradictions, avec la première notion, je n'ai pas vraiment créé et utilisé d'outils nouveaux, comparé à ce qu'il se faisait, déjà, il y a 60-70 ans, mais peut-être que cela sera, véritablement, nécessaire {concernant le|lors du} passage des parties convexes de $\mathbb {R} ^{n}$, aux parties non convexes de $\mathbb {R} ^{n}$.

Du point de vue du cardinal quantitatif, approcher $\mathbb {R} ^{2}$, par la suite ${({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }\subset {PV}(\mathbb {R} ^{2})$, n'est pas la même chose que de l'approcher par la suite de boules euclidiennes fermées ${{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }\subset {PV}(\mathbb {R} ^{2})$ :

De fait, pour éviter la contradiction qui en résulte, avec les notations usuelles, on définit les 2 plafonnements à l'infini, différents, {de|associés à} $\mathbb {R} ^{2}$, autour de l'origine $O_{2}$ du repère orthonormé (direct) ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ :

${\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ et ${\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}$,

c'est-à-dire, avec la renotation dont j'ai parlé plus haut, les parties telles que :

(On pourra remplacer "$+\infty$" par "$\sup(\mathbb {N} )$", et on considérera alors que $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.)

$\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}={\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}={\Big [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

et on a : ${\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}\neq {\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}$

et

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}({[-r,r]}^{2})}$

$\displaystyle {\neq \lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}}$

et il n'y a pas de contradiction, contrairement avec la notation usuelle.

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant cette théorie, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

Par ailleurs, peut-être que ma théorie peut se passer des ensembles $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )},{\mathbb {R} '},{\mathbb {R} ''}$, etc ... , concernant les parties de $\mathbb {R} ^{n}$, mais peut-être pas du nombre infini positif $+\infty _{\mathbb {R} }$ dont j'ai parlé plus haut dans la Série de remarques 3.

Guillaume FOUCART (discussion) modifié le 21 mars 2019 à 12:26 (UTC)

Série de remarques 7 (autour des commentaires de Anne Bauval)

Série de remarques 7.1

Voici, la page d'origine, avant mes modifications : Discussion de Anne Bauval (A propos de la page Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche), du 26 juin 2018 à 01:59

J'ai été maladroit dans la page de Discussion de Anne Bauval (A propos de la page Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche), du 28 juin 2018 à 19:43 et Discussion de Anne Bauval (A propos de la page Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche), du 28 juin 2018 à 19:54, et je n'avais pas remarqué les commentaires de Anne Bauval, qui est immédiatement intervenue, peu après mes modifications. Je ne m'étais même pas aperçu, lors de ma 2nde modification, que ma 1ère modification avait été annulée, par Anne Bauval.

Mais j'ai été réglo dans la page de Discussion de Anne Bauval (A propos de la page Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche), du 28 juin 2018 à 20:10, et Anne Bauval a crû, après être revenue à une version antérieure à mes modifications, que je repostais de nouveau mes modifications antérieures, en l'état, en postant une version où mes modifications antérieures, en l'état, étaient présentes.

De toute façon, je ne vais pas insister, car elle menace de déposer une RA (requête aux administrateurs) à mon encontre, de plus, je ne suis plus le bienvenu sur sa page de discussion, alors que j'y suis très peu intervenu.

Je ne veux surtout pas me mettre à dos, des personnes (en particulier susceptibles et caractérielles), pour 3 fois rien, surtout des personnes comme Anne Bauval, qui de par son statut de maître de conférences, risque d'influencer particulièrement les administrateurs, voire de devenir administratrice elle-même et de s'en prendre à mes travaux, peut-être parfois, à raison, mais aussi parfois voire souvent, à tort.

Je rappelle que "ma" notion semble trop marginale et n'est pas présente sur Wikipedia, même concernant les parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, où elle est parfaitement définie, et depuis longtemps, mais pas, à tort, sous une bonne appellation plus parlante et plus légitime :

Alors supprimer mes travaux ou une partie, sous prétexte qu'une partie a déjà été établie et qu'elle serait, déjà, présente sur Wikipedia, n'est pas forcément une bonne idée. Il faut plutôt réhabiliter la notion en question sur Wikipedia.

Guillaume FOUCART (discussion) modifié le 21 mars 2019 à 12:31 (UTC)

Le paragraphe suivant de Anne Bauval, à propos de moi :

"Bonjour Supreme assis, cet individu n'est pas raisonnable (tant sur son comportement que sur ses prétendues recherches mathématiques) donc c'est perdre son temps que de tenter un dialogue avec lui. Mais il sera certainement, tôt ou tard, sanctionné par les administrateurs. Anne Bauval (discussion) 24 juin 2018 à 16:23 (UTC)",

dans Mise au point,

est dangereux, surtout pour moi, et à l'emporte pièce :

Certes, j'effectue des modifications, voire de nombreuses modifications de mes messages, tant qu'on n'y a pas répondu, afin de les améliorer et de les rendre complets et parfaits

Certes, j'ai effectué une centaine de modifications de la page de Discussion de Lydie Noria, pour améliorer mes messages, à l'encontre de Supreme assis, mais j'ai arrêté.

J'ai été, intransigeant et quasiment sans complaisance vis à vis des travaux de Supreme assis, dans Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes, et il l'a pris pour de l'acharnement voire du harcèlement. Mais, même, il est, tout à fait, justifié, et, même, moralement, justifié de s'acharner et de s'en prendre, comme je l'ai fait, à de tels travaux.

Certes, cela a produit beaucoup de notifications chez mes interlocuteurs.

Voilà mes torts.

Mais, je connais, à peine, Anne Bauval et elle me connaît, à peine, et elle a, à peine, émis des jugements sur mes travaux et je me suis à peine défendu et j'ai pu à peine me défendre : Le message du paragraphe de Anne Bauval est, vraiment, prématuré, et, en plus, je devrais encaisser, tout ce qu'elle dit à mon encontre, sans pouvoir réagir et sans même pouvoir me défendre. Guillaume FOUCART (discussion) modifié le 31 janvier 2019 à 16:27 (UTC)

Citation de Anne Bauval, dans sa page de discussion : "Je préfère rester simple péon sous votre contrôle, car je me méfie à la fois de mon manque de diplomatie et de mon autoritarisme. Mieux vaut que je me cantonne à ce pour quoi je suis douée.". C'est bien de le reconnaître et, aussi, de reconnaître ses défauts. Guillaume FOUCART (discussion) 09 juillet 2018 à 14:15 (UTC)

Finalement Anne Bauval m'a fait supprimer mes passages personnels, en a supprimé certains et a épuré le reste, et m'a donné un bon coup de main. Ma page de recherche et la page de discussion associée s'en retrouve allégée et épurée.Guillaume FOUCART (discussion) 6 février 2019 à 18:44 (UTC)

Série de remarques 7.2

En réponse à Anne Bauval :

Si vous regardez bien :

Mes formules ont bel et bien un sens.

Les parties que vous incriminez doivent concerner, principalement, ce qui se rapporte à "Définitions de $+\infty _{f}$, $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$, $+\infty _{\mathbb {R} }$, ${\widetilde {\mathbb {R} }}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$" et "Définitions de $diam$, ${\widetilde {diam}}$, $+\infty _{{\widetilde {diam}},C,{\mathcal {C}}}$, $+\infty _{{\widehat {\widetilde {diam}}},{\mathcal {C}}}$ et $+\infty _{\widehat {\widetilde {diam}}}$", que je peux omettre, puisqu'elles ne servent pas dans la définition du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$ (celles qui se rapportent aux 2ndes ne servant nul part), et aussi celle concernant sa généralisation à des classes de parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Après les avoir omises, vous verrez qu'au moins, les formules restantes, ont du sens, et que les travaux concernés ont déjà été faits, il y a longtemps, mais ne figurent, malgré tout, pas sur Wikipedia, malgré leur intérêt évident.

J'aurais dû d'abord traiter le cardinal quantitatif, dans le cas des variétés compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$ et ${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux, et de dimension $0\leq i\leq n$, c'est-à-dire là où il est parfaitement connu et défini, et seulement après traiter et m'essayer ou m'hasarder à des {extensions|généralisations}.

Dîtes-moi ce que vous ne comprenez pas dans : "Définitions de $+\infty _{f}$, $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$, $+\infty _{\mathbb {R} }$, ${\widetilde {\mathbb {R} }}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$" et "2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$".

Je peux, encore, le comprendre et comprendre que vous ne me comprenez pas et que vous vous y perdiez, étant donné le nombre de notations nouvelles que j'ai introduites et la technicité associée et utilisée pour les définir.

Pourtant, croyez moi, même s'il n'y a pas de schéma ou de représentation imagée, j'ai tout fait pour qu'elles soient les plus intuitives possible, mais malheureusement, comme vous en témoignez, cela ne suffit pas. Guillaume FOUCART (discussion) 31 janvier 2019 à 19:43 (UTC)

Tout d'abord $+\infty _{\mathbb {R} }=+\infty$ (classique).

$+\infty _{f}$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[,\mathbb {R} )}$ si $\displaystyle {a\in \mathbb {R} \bigcup +\infty _{\mathbb {R} }}$ doivent être les maillons faibles, puisque, normalement, une fois leur sens acquis, le reste a du sens.

Peut-être, mais je n’en suis pas certain, faut-il corriger les expressions données et les remplacer par les expressions plus lisibles :

Soit $\displaystyle {a\in \mathbb {R} \bigcup \{+\infty _{\mathbb {R} }\}}$.

On pose $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{1}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)=\{f\,\,|\,\,f\,\,:\,\,]-\infty _{\mathbb {R} },a[\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \}}$,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)=\{f\in {\mathcal {F}}_{1}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)\,\,|\,\,f\,\,{\text{continue, strictement croissante telle que}}\,\,\lim _{x\in \mathbb {R} ,\,\,x<a,\,\,x\rightarrow a}f(x)=+\infty _{\mathbb {R} }\}}$,

et $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)=\{f\in {\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)\,\,|\,\,\not \exists g\in {\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[),\,\,\not \exists h\in {\mathcal {F}}_{1}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[),\,\,{\text{oscillante}},\,\,f=g+h\}}$.

Si $f\in {\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$,

on note $\displaystyle {\lim _{x\in \mathbb {R} ,\,\,x<a,\,\,x\rightarrow a}^{\sim }f(x)=+\infty _{\lim ,f,a}}$

ou bien $\displaystyle {\lim _{x\in \mathbb {R} ,\,\,x<a,\,\,x\rightarrow a}^{\sim }f(x)=+\infty _{f}}$, s'il n' y a aucune confusion possible.

On pose $+\infty _{{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}=\{+\infty _{f}\,\,|\,\,f\in {\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)\}$.

Dîtes-moi ce qui ne va pas encore.

Dans mes travaux, j'ai défini une relation d'équivalence et une relation d'ordre sur $+\infty _{{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$, en particulier si $a=+\infty _{\mathbb {R} }$.

Guillaume FOUCART (discussion) 1 février 2019 à 12:30 (UTC)

Comme déjà dit sur ma pdd, c'est un tissu d'âneries. Je l'ai éclairci pour vous et j'ai de plus rédigé à votre intention cet exercice, qui devrait vous faire réfléchir. Anne, 2/2/2019 à 21 h 04 (CET)

Ajout de Guillaume FOUCART du 11-07-2023 : [Lien vers l'Ex 3-3 supprimé par Anne Bauval (aller à la version du 10 juillet 2021 de 06h28)]. Il se peut qu'elle ait bel et bien raison et que toute fonction continue strictement croissante admette une décomposition en une fonction continue strictement croissante et une fonction continue dite "oscillante", quels que soient les sens possibles que l'on peut attribuer au terme "oscillante", sens que selon ses dires, je n'ai pas précisé (les fonction en question vérifiant les conditions que j'ai déjà mentionnées), mais suivant le sens que je veux lui attribuer et pour lequel je ne me suis pas encore décidé et prononcé, je n'en suis pas si sûr, mais, de toute façon, ça ne fera qu'anéantir la moitié de mes travaux sur le cardinal quantitatif et pas la moitié la plus fondamentale. Guillaume FOUCART (discuter) 11 juillet 2023 à 19:41 (UTC)

Mon idée n'est peut-être pas au point, mais normalement, vous devez comprendre ce que je veux faire et où je veux en venir. Par ailleurs, une fois que la mise au point sera faite, pour $f\in {\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$, j'identifie $+\infty _{f}$ à $f$ c'est-à-dire que l'on a $+\infty _{f}\equiv f$. Par fonctions oscillantes, j'entends des fonctions du type $\cos$ ou $\sin$, mais je sais qu'il existe des fonctions oscillantes différentes de ces dernières et qui tendent vers $0$ ou vers $+\infty$, à l'infini. Vous savez vous-même que la recherche n'est pas un long fleuve tranquille.Guillaume FOUCART (discussion) 3 février 2019 à 15:19 (UTC)

De plus ma construction, même si elle est, en partie, fausse, semble, a priori, intuitive. Ce que vous affirmez est vrai, mais n'est pas intuitif. Peut-être qu'au lieu de considérer les ensembles ${\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$, il faut et il suffit de considérer les ensembles ${\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$. Mais cette considération ne sera-t-elle pas problématique ? Guillaume FOUCART (discussion) 4 février 2019 à 18:07 (UTC)

De toute façon, si ma construction est fausse concernant les ensembles ${\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$ et ${\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$ : Cela ne fait tomber qu'un pan de ma théorie, mais pas tout. Guillaume FOUCART (discussion) 3 août 2021 à 20:52 (UTC)

Les notations concernant l'ensemble "$]-\infty _{\mathbb {R} },a[$" viennent d'être modifiées depuis hier, dans mes travaux sur le Cardinal quantitatif. Cf. aussi "Série de remarques 8/Partie non digressive 6". Guillaume FOUCART (discussion) 21 juin 2020 à 13:34 (UTC)

J'ai 2 problèmes notables, mais, pour majeure partie, indépendants :

a) Concernant les "plafonnements à l'infini" :

Pour pouvoir les comparer, il faut que je donne les définitions des relations suivantes :

"$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\subset [A,{(B_{i})}_{i\in I}]$"

et "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\subset [B,{(B_{i})}_{i\in I}]$",

(et, en particulier, les relations :

"$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\subsetneq [A,{(B_{i})}_{i\in I}]$"

et "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\subsetneq [B,{(B_{i})}_{i\in I}]$")

ainsi, je pourrai définir les relations :

"$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]=[A,{(B_{i})}_{i\in I}]$"

et "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]=[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$".

A défaut : On peut comparer leurs cardinaux quantitatifs.

b) Mes $+\infty _{f}$, pour certaines fonctions $f$, se doivent d'être parfaitement définis :

Sans avoir résolu le 1er problème, je ne peux, peut-être, pas étendre la notion de cardinal quantitatif à la "tribu de parties(*)" ${PV2}({\mathbb {R} }^{n})$, dans ma théorie non classique, présentant des différences minimes, par rapport à la théorie classique (Cette première n'est peut-être, d'ailleurs, une "tribu de parties(*)", que si on peut résoudre ce problème, dans cette théorie non classique).

Sans avoir résolu le 2nd problème, je ne peux pas l'étendre à la tribu de parties ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$. (Cette dernière n'existant, d'ailleurs, pas, si on ne peut résoudre ce problème)

Sans avoir résolu les 2, je ne peux pas l'étendre à la "tribu de parties(*)" ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, dans ma théorie non classique, présentant des différences minimes, par rapport à la théorie classique (Cette première n'est peut-être, d'ailleurs, une "tribu de parties(*)", que si on peut résoudre ce problème, dans cette théorie non classique).

Mais, le cardinal quantitatif n'en demeure pas moins, parfaitement, défini, sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

(*) Si ce n'est pas une tribu de parties, alors ce doit être une réunion de tribus de parties.

Concernant le 2nd problème :

Si on pose : ${{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}={{\mathcal {F}}_{2}(\mathbb {R} )}$,

on peut avoir, $\exists f,g\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ),\,\,f-g=\sin$,

et comme $+\infty _{f}\equiv f$ et $+\infty _{g}\equiv g$, cela pose, peut-être, problème pour définir $(+\infty _{f})-(+\infty _{g})$, puisque dans ce cas : $(+\infty _{f})-(+\infty _{g})=\sin$,

d'où le fait qu'il soit, peut-être, préférable qu'on se restreigne, d'avantage, et que l'on pose : ${{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}={{\mathcal {F}}_{3}(\mathbb {R} )}$.

Guillaume FOUCART (discussion) 25 avril 2019 à 15:15 (UTC)

J'aurai une question concernant la sous-section "Définition du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$ et sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$/Définition sur $\mathbb {R} ^{n}$" :

Est-ce que les conditions 1)b) et 2)a1) [additivité finie], avec peut-être d'autres conditions données dans la définition, impliquent la $\sigma$-additivité du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ?

Si tel n'est pas le cas, ça n'est pas bien grave, au lieu de 2)a1), je mettrai la condition de $\sigma$-additivité sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

(Pourtant là, j'ai repris ce que Michel COSTE a écrit :

Il a dit au début de "La saga du "cardinal" ", qu'on donnait, prudemment, un des axiomes de définition du cardinal quantitatif, en se limitant aux réunions finies, mais il semble avoir fait comme si il s'appliquait aux réunions infinies dénombrables :

Il a donc dû affirmer, quelque part, que dans ce cas, l'additivité finie implique la $\sigma$-additivité sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.)

Guillaume FOUCART (discussion) 25 avril 2019 à 18:21 (UTC)

Série de remarques 8

Partie non digressive 1

La plupart des intervenants Des-mathématiques.net, y compris parmi les plus sérieux, ne comprennent ou ne veulent comprendre que ce qui est parfaitement rigoureux, ce qui n'aurait pas été le cas, par exemple, des mathématiciens du XVIIème siècle, même si d'autres problèmes se seraient, sans doute, posés avec les infinis en acte, avant Cantor.

Malgré tout, j'ai donné et j'ai fourni beaucoup d'indices et de matière pour qu'ils puissent, normalement, comprendre où je veux en venir et où je veux aller.

Dans mes travaux, il ne s'agit pas [ajout du 23/04/2020 : essentiellement et principalement] d'enchaîner des résultats et des démonstrations, mais avant tout d'un problème conceptuel, surtout dans le cas non borné et dans une partie du cas borné.

Concernant la partie achevée où les résultats ont déjà été établis par des mathématiciens, s'il y a un théorème qui peut poser problème dans sa forme et dans sa démonstration, mais dont le PDF de Michel COSTE nous assure bien l'existence, c'est bien le Corollaire 1.3.4.7 (le samedi 21 septembre 2019). Si je ne suis pas parvenu à une forme aboutie, c'est en grande partie parce que Michel COSTE ne l’a pas fournie et que si on veut la traiter correctement et complètement, il faut introduire des notations lourdes, même si elle fait appel à un autre résultat que j'ai admis, le Théorème 1.3.4.5 (le samedi 21 septembre 2019), mais qui a déjà été établi par des mathématiciens, et qu'elle ne présente pas de difficulté outre mesure.

Guillaume FOUCART (discussion) 21 septembre 2019 à 13:04 (UTC)

Peut-être bien, afin d'être plus clair, qu'il faut que je scinde et divise le sujet des travaux sur le cardinal quantitatif, en une partie établie et connue (résultats établis et connus, mais disséminés de manière marginale, dans la littérature c'est-à-dire ceux présentés par Michel COSTE, dans ses PDF "La saga du "cardinal"") et en une partie spéculative (mes travaux de recherche sur le sujet, à proprement parler).

Guillaume FOUCART (discussion) 23 octobre 2019 à 18:25 (UTC)

Je crois, même, qu'il faut que je scinde le sujet des travaux sur le cardinal quantitatif, non pas en 2 parties, mais en 3 parties : 1 sur ce qui est déjà établi et connu, 2 sur la partie spéculative, dont 1 impliquant les plafonnements à l'infini, sans les nombres $+\infty _{f}$, et 1 impliquant les nombres $+\infty _{f}$, d'abord sans, puis avec les plafonnements à l'infini.

Guillaume FOUCART (discussion) 30 octobre 2019 à 14:01 (UTC)

J'ai, en conséquence, intégralement réorganisé, le sujet du cardinal quantitatif, depuis aujourd'hui.

Guillaume FOUCART (discussion) 3 novembre 2019 à 13:27 (UTC)

J'avais modifié et complété la Proposition admise 1.3.4.6 (du 16 novembre 2019) et j'ai corrigé, complété et, sensiblement, amélioré le contenu du Corollaire 1.3.4.7 (du 16 novembre 2019).

Guillaume FOUCART (discussion) 16 novembre 2019 à 12:32 (UTC)

Il faut que j'améliore et que je travaille d'avantage les Remarques 1.4.4.1.2 (du 18 novembre 2019) qui ne sont pas au point en l'état.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 novembre 2019 à 15:02 (UTC)

J'ai modifié et me semble-t-il corrigé un passage de la définition 1.4.4.1.1 (le 26 décembre 2019 et en juin 2020)

Dans "Définitions de $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$"

"A) Soient $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\},\,\,a<b$,

où on considère, de manière non classique, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$

et $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

On note :

"$R_{a,b}=(a,b[$"

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "$+\infty$" où $+\infty$ est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\mathbb {R}$.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x<b\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x\geq a\}$

ou

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x>a\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=(a,b[$."

$\cdots$

B) Définition des relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" sur ${\mathcal {F}}(R_{a,b})$ et des relations d'égalité "$=$" et d'ordre $\leq$ sur $+\infty _{{\mathcal {F}}(R_{a,b})}$ :

Soient $f,g\in {\mathcal {F}}(R_{a,b})$.

Mes relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'égalité "$=$" sont définies par :

$\displaystyle {+\infty _{f}=+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{\sim }}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)=0}$

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{\sim }}={\underset {+\infty }{\sim }}$ et $\lim _{b^{-}}(f-g)=\lim _{+\infty }(f-g)$

Mes relations d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" et "$\leq$" sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

$\displaystyle {+\infty _{f}<+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{<}}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)<0}$,

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{<}}={\underset {+\infty }{<}}$ et $\lim _{b^{-}}(f-g)=\lim _{+\infty }(f-g)$,

et la seconde relation d'ordre est totale.

Anne Bauval avait dit que mes 2 relations d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" et "$\leq$" n'étaient hélas pas totales, mais je crois qu'en fait ce qu'elle a dit n'est valable que pour la 1ère relation d'ordre, et non pour la 2nde qui est bel et bien totale.

Guillaume FOUCART (discussion) 30 juin 2020 à 15:14 (UTC) (version modifiée)

Certaines sous-parties n'étaient pas à leur place dans la partie concernant "${PV}(\mathbb {R} ^{n})$", je les ai donc mises dans la partie concernant "${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$", et j'ai corrigé, clarifié et désambiguïsé certains titres de sous-parties.

De même certaines sous-parties n'étaient pas à leur place dans la partie concernant "${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$", je les ai donc mises dans la partie concernant "${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$",et j'ai corrigé, clarifié et désambiguïsé certains titres de sous-parties.

Dommage que je m'en aperçois seulement maintenant : Ça m'a fait tout drôle et ça m'a drôlement stressé, car les manipulations correctives qui en découlent, s'avèrent de plus en plus délicates.

Guillaume FOUCART (discussion) 17 février 2020 à 23:16 (UTC)

Il se peut que l'ensemble des axiomes proposé puisse se restreindre à un ensemble ou un nombre d'axiomes plus limité : Dans le doute, je préfère être redondant, plutôt que de donner un ensemble d'axiomes insuffisant.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 février 2020 à 12:10 (UTC)

Remarque : Sur la Wikiversité, il n'y a pas plus de 6 niveaux de sous-parties, possibles, et je suis arrivé au nombre de niveaux maximal. J'ai crû, un moment, qu'il m'en aurait fallu 7, pour une broutille, mais en fait non.

De plus, même si c'est pour être exhaustif et aussi, en partie, pour la clareté, trop de niveaux de sous-parties, nuit à la lisibilité de la table des matières.

Pourtant, je ne vois pas bien, comment réduire le nombre de niveaux de sous-parties de mes travaux sur le Cardinal quantitatif, et je pense qu'ils n'y gagneraient pas en clareté.

Il faudrait, qu'on puisse masquer ou qu'on puisse afficher certains sous-niveaux, à la demande du lecteur, qui pourra le faire en un coup de clic, comme c'est déjà le cas sur certaines pages de certains sites.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 février 2020 à 14:07 (UTC)

Suite aux remarques qui m'ont été faites sur le forum Futura Sciences

J'ai entièrement corrigé et simplifié la section "Cardinaux négatifs ou complexes" qui était opaque et ne faisait pas entièrement sens, en l'état, avant cette intervention.

Guillaume FOUCART (discussion) 27 février 2020 à 18:50 (UTC)

Cf. 3ème message de Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages complémentaires

Guillaume FOUCART (discussion) 28 février 2020 à 17:50 (UTC)

Je recommande au lecteur de consulter aussi : Les-mathematiques.net/Shtam/Conseils constructifs sur mes travaux.

Guillaume FOUCART (discussion) 20 mars 2020 à 15:58 (UTC)

D'après les conseils qui m'ont été donnés, il faut que j'écrive des phrases plus courtes, avec moins de virgules et sans accolade.

J'ai restructuré le 1er § de l'Introduction et une partie de ce qui est dit peu après.

Il faut dire que Anne Bauval avait initialement vidé l'Introduction d'une bonne partie de ses passages superflus et qu'après cela, je ne l'avais pas assez remaniée en conséquence.

J'ai remanié : Discussion Recherche:Cardinal quantitatif/Série de remarques 1.

Guillaume FOUCART (discussion) 23 mars 2020 à 14:11 (UTC)

Digression 1

[1]

Je suis à peu près sûr que je ne raconte pas n'importe quoi dans mes travaux et il y a d'ailleurs une partie établie et connue.

Le problème est de savoir comment je dois les rédiger et sous quelle forme pour pouvoir bien me faire comprendre et bien les faire comprendre.

Pourtant, j'y ai mis du mien et beaucoup d'énergie.

L'existence voire l'unicité de certains objets est assurée par l'intervention de Michel COSTE dans son PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4), même si c'est un article informel de vulgarisation et que toutes les démonstrations de tous les résultats n'y figurent pas.

Étant donné le peu de sources et de références qu'il a fournies et les insuffisances de son PDF, et le fait que je ne peux me baser et me référer que sur eux, je n'ai pas pu fournir ce que Michel COSTE n'a pas lui-même fourni.

Pour les sceptiques y compris du PDF de Michel COSTE, je ne peux rien faire.

Tout ce que je peux dire est que Michel COSTE est professeur émérite de l’Université de RENNES 1 et qu'il n'est pas du genre à raconter n'importe quoi et qu'il a pris toutes ses précautions en écrivant son article informel de vulgarisation.

Si certaines définitions [2 à 3 définitions] ne sont pas claires, c'est qu'elles sont partiellement inachevées sur certains points que je ne suis pas en mesure de fournir ou sur lesquels je ne suis pas en mesure de me {décider|prononcer} lorsque qu'il faut choisir entre plusieurs options qui se présentent.

Mis à part ça, les énoncés de mes propositions et de mes autres définitions non concernées par la phrase précédente sont parfaitement clairs et rigoureux, et pratiquement aucun n'a été donné sans que les prérequis ne soient donnés avant.

Peut-être qu'il faut que je mette un peu plus de texte explicatif permettant au lecteur de s'orienter dans le texte et de comprendre les enchaînements et les articulations des divers résultats, définitions et propositions, pourtant ces derniers sont évidents et sont souvent donnés de manière explicite.

L'Introduction vient d'être améliorée et restructurée, mais avait subi les subterfuges de Anne Bauval qui l'avait un peu trop vidée et déstructurée, lorsqu'elle a supprimé certains passages superflus.

Il est vrai que mes travaux sur le Cardinal quantitatif sont beaucoup plus secs que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

De toute façon, je ne disposais pas de toutes les connaissances et de tous les éléments dont disposait Michel COSTE pour pouvoir écrire l'article de vulgarisation informel tel qu'il l'a écrit.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur le Cardinal quantitatif et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors cardinal quantitatif et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.

Guillaume FOUCART (discussion) 19 juillet 2020 à 13:04 (UTC) (version modifiée)

Partie non digressive 2

Ensembles de départ et d'arrivée des applications : ${\widetilde {{card}_{Q}}}$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ :

Cf. Recherche:Cardinal quantitatif

1er temps :

En reprenant les notations de l'axiome 0) de la 1.3.2.1 Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ (axiomes de définition généraux dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ + axiomes de définition dans le cas des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$) et de la 1.4.4.2.1 Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ (axiomes de définition généraux dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ + axiomes de définition dans le cas des parties bornées de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$).

a) ${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} _{n}[{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R}$, par exemple $I=[0;1[$,

c'est-à-dire ${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} _{n}[{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R}$, par exemple $I=[0;1[$,

ou encore ${\widetilde {{card}_{Q}}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} _{n}[{\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {{card}_{Q}}}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R}$, par exemple $I=[0;1[$.

b) ${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} ''}_{n}[{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} '')\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R} ''$, par exemple $I=[0;1[$,

${{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({{\mathbb{R}}^{″}}^n)}:PV({{\mathbb{R}}^{″}}^{}$