Droites et plans de l'espace/Équation d'un plan de l'espace

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De même que, dans le plan muni d'un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$, une équation de la forme $ax+by+c=0$, avec $a$ et $b$ non tous deux nuls, définissait un sous-espace de codimension $1$ du plan c'est-à-dire une droite, on démontre que dans l'espace de dimension 3 muni d'un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$, une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$, avec $a,b,c$ non tous trois nuls, définit un sous-espace affine de codimension $1$ donc de dimension $3-1=2$ :

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Plan défini par une équation

Début d’un théorème

Théorème

Pour tout triplet $(a,b,c)\neq (0,0,0)$ de $\mathbb {R} ^{3}$ et tout réel $d$,

$ax+by+cz+d=0$

est l'équation (dans un repère fixé $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$) d'un plan de l'espace.

Fin du théorème

Démonstration

Supposons par exemple $a\neq 0$. Alors,

$ax+by+cz+d=0\Leftrightarrow x=-{\frac {by+cz+d}{a}}\Leftrightarrow \exists (s,t)\in \mathbb {R} ^{2}\ {\begin{cases}x={\frac {-d}{a}}+s{\frac {-b}{a}}+t{\frac {-c}{a}}\\y=s\\z=t\end{cases}}$

et les deux vecteurs ${\vec {j}}-{\frac {-b}{a}}{\vec {i}},{\vec {k}}-{\frac {-c}{a}}{\vec {i}}$ sont non colinéaires.

 

Contrairement à nos « habitudes planaires », une seule équation ne définit donc plus, dans l'espace, une droite, mais un plan. Nous verrons au chapitre suivant que pour définir une droite, il faut deux équations (moyen mnémotechnique : une droite est l'intersection de deux plans).

Équation d'un plan

Début d’un théorème

Réciproque

Tout plan $A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$ (où $A$ est un point et ${\vec {u}}=\alpha {\vec {i}}+\beta {\vec {j}}+\gamma {\vec {k}},{\vec {v}}=\alpha '{\vec {i}}+\beta '{\vec {j}}+\gamma '{\vec {k}}$ deux vecteurs non colinéaires) a une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$, avec $(a,b,c)\neq (0,0,0)$.

Fin du théorème

Démonstration

Posons

$a:={\begin{vmatrix}\beta &\beta '\\\gamma &\gamma '\end{vmatrix}},\quad b:=-{\begin{vmatrix}\alpha &\alpha '\\\gamma &\gamma '\end{vmatrix}},\quad c:={\begin{vmatrix}\alpha &\alpha '\\\beta &\beta '\end{vmatrix}}\quad {\text{et}}\quad d:=-ax_{A}-bx_{B}-cx_{C}$

et remarquons d'abord que $(a,b,c)\neq (0,0,0)$. En effet, ${\vec {u}}\neq {\vec {0}}$ donc par exemple $\alpha \neq 0$ (le raisonnement serait le même dans les autres cas) et alors, $(b,c)\neq (0,0)$ car ${\vec {v}}\neq {\frac {\alpha '}{\alpha }}{\vec {u}}$.

On vérifie facilement (faites le calcul) que ${\vec {u}},{\vec {v}}$ appartiennent au plan vectoriel d'équation $ax+by+cz=0$ donc l'engendrent (puisqu'ils ne sont pas colinéaires). Ceci permet de transformer la représentation paramétrique de $A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$ :

$\exists s,t\in \mathbb {R} \ {\begin{pmatrix}x-x_{A}\\y-y_{A}\\z-z_{A}\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}\alpha '\\\beta '\\\gamma '\end{pmatrix}}\Leftrightarrow a\left(x-x_{A}\right)+b\left(y-y_{A}\right)+c\left(z-z_{A}\right)=0\Leftrightarrow ax+by+cz+d=0$.

 

Remarque

Un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ et un plan d'équation $a'x+b'y+c'z+d'=0$ sont :

• égaux si et seulement si les deux quadruplets $(a,b,c,d)$ et $(a',b',c',d')$ sont proportionnels ;
• parallèles si et seulement si les deux triplets $(a,b,c)$ et $(a',b',c')$ sont proportionnels.