Droites et plans de l'espace/Paire d'équations d'une droite de l'espace

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Droite définie par deux équations

Début d’un théorème

Théorème

Dans un repère fixé $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$ de l'espace, deux équations

${\begin{cases}ax&+&by&+&cz&+&d&=&0\\a'x&+&b'y&+&c'z&+&d'&=&0\end{cases}}$

indépendantes, c'est-à-dire telles que les deux triplets $(a,b,c),(a',b',c')$ ne soient pas colinéaires, définissent une droite.

Fin du théorème

Démonstration

Supposons par exemple $(a,b),(a',b')$ non colinéaires (le raisonnement serait le même dans le cas $(a,c),(a',c')$ non colinéaires et dans le cas $(b,c),(b',c')$ non colinéaires, et l'hypothèse $(a,b,c),(a',b',c')$ non colinéaires garantit qu'on est dans au moins l'un des trois cas).

Alors, le nombre $e:=ab'-ba'$ est non nul, ce qui permet de transformer le système des deux équations en une représentation paramétrique de droite :

${\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}ex+(b'c-bc')z+(b'd-bd')=0\\-ey+(a'c-ac')z+(a'd-ad')=0\end{cases}}\Leftrightarrow \exists t\in \mathbb {R} \ {\begin{cases}x={\frac {bc'-b'c}{e}}t+{\frac {bd'-b'd}{e}}\\y={\frac {a'c-ac'}{e}}t+{\frac {a'd-ad'}{e}}\\z=t.\end{cases}}$

 

Paire d'équations d'une droite

Début d’un théorème

Réciproque

Toute droite $A+\mathbb {R} {\vec {u}}$ (où $A$ est un point de l'espace et ${\vec {u}}$ un vecteur non nul) peut être définie par une paire d'équations indépendantes.

Fin du théorème

Démonstration

Notons $(\alpha ,\beta ,\gamma )\neq (0,0,0)$ les coordonnées de ${\vec {u}}$ et choisissons deux solutions non colinéaires, $(a,b,c)$ et $(a',b',c')$, de l'équation $x\alpha +y\beta +z\gamma =0$ (par exemple, si $\alpha \neq 0$, on peut choisir $(a,b,c)=(-\beta ,\alpha ,0)$ et $(a',b',c')=(-\gamma ,0,\alpha )$ ; si $\beta \neq 0$ ou $\gamma \neq 0$, on peut faire des choix similaires).

Posons ensuite $d:=-ax_{A}-by_{A}-cz_{A}$. Ainsi, tout point de $A+\mathbb {R} {\vec {u}}$ a pour coordonnées une solution de $ax+by+cz+d=0$ car $\forall t\in \mathbb {R} \quad a(x_{A}+t\alpha )+b(y_{A}+t\beta )+c(z_{A}+t\gamma )+d=0+t0=0$.

De même, pour $d':=-a'x_{A}-b'y_{A}-c'z_{A}$, tout point de $A+\mathbb {R} {\vec {u}}$ a pour coordonnées une solution de $a'x+b'y+c'z+d'=0$.

La droite $A+\mathbb {R} {\vec {u}}$ est alors incluse dans (donc égale à) la droite définie par ces deux équations.