Droites et plans de l'espace/Définition et paramétrage d'une droite
Présentation générale
modifierEn géométrie affine, une droite est généralement considérée comme un « alignement de points ». Cet alignement est défini par soit deux points (distincts), soit par un point et un vecteur (non nul).
Définir une représentation paramétrique de la droite consistera à faire intervenir une variable qui décrit l'alignement. Cette description se fera en coordonnées cartésiennes, dans un repère affine.
Dans cette leçon, l'espace affine considéré est toujours supposé de dimension 3, muni d'un repère (non nécessairement orthonormé ni même orthogonal).
Soient un point et un vecteur non nul.
La droite passant par le point et de vecteur directeur est l'ensemble, noté , des points de l'espace tels que soit colinéaire à :
- .
- Remarque
- L'application est une bijection, c'est-à-dire que chaque point de la droite correspond à une valeur de paramètre réel et réciproquement. Le point correspond à .
Pour deux points distincts et de l'espace, la droite est l'unique droite passant par et .
- La droite est bien définie (car ) et passe par et par .
- Réciproquement, si une droite (où est un point et un vecteur non nul) passe par et , c'est-à-dire s'il existe deux réels (nécessairement distincts) tels que et , alors .
Représentation paramétrique
modifierÉtant donné un repère , par définition :
- le triplet des coordonnées d'un vecteur est l'unique matrice colonne telle que ;
- les coordonnées d'un point sont les coordonnées du vecteur .
La représentation paramétrique d'une droite s'écrit donc :
- pour une droite définie par un point et un vecteur directeur (non nul) :
;
|
- pour une droite définie par deux points distincts et :
- , ou encore, en échangeant les rôles de et :
|
- On reconnaît l'écriture des coordonnées du barycentre de ou de .
Réciproquement, pour tous triplets de réels et ,
est la représentation paramétrique (dans le repère ) de la droite passant par le point de coordonnées et de vecteur directeur .