Droites et plans de l'espace/Définition et paramétrage d'une droite

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Définition et paramétrage d'une droite
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Chapitre no 1
Leçon : Droites et plans de l'espace
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Présentation générale

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En géométrie affine, une droite est généralement considérée comme un « alignement de points ». Cet alignement est défini par soit deux points (distincts), soit par un point et un vecteur (non nul).

Définir une représentation paramétrique de la droite consistera à faire intervenir une variable qui décrit l'alignement. Cette description se fera en coordonnées cartésiennes, dans un repère affine.

Dans cette leçon, l'espace affine   considéré est toujours supposé de dimension 3, muni d'un repère   (non nécessairement orthonormé ni même orthogonal).

Définition d'une droite affine

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Remarque
L'application   est une bijection, c'est-à-dire que chaque point de la droite correspond à une valeur de paramètre réel   et réciproquement. Le point   correspond à  .

Représentation paramétrique

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Étant donné un repère  , par définition :

  • le triplet des coordonnées d'un vecteur   est l'unique matrice colonne   telle que   ;
  • les coordonnées   d'un point   sont les coordonnées du vecteur  .

La représentation paramétrique d'une droite s'écrit donc :

  • pour une droite définie par un point   et un vecteur directeur   (non nul) :
  ;


  • pour une droite définie par deux points distincts   et   :
 , ou encore, en échangeant les rôles de   et   :
 


On reconnaît l'écriture des coordonnées du barycentre de   ou de  .