Espace euclidien/Automorphismes orthogonaux
Définition
On appelle endomorphisme orthogonal de E tout endomorphisme u qui conserve le produit scalaire :
- .
Remarques
- La condition ci-dessus équivaut à donc les endomorphisme orthogonaux de E sont simplement ses isométries vectorielles.
- Le déterminant d'un endomorphisme orthogonal est égal à ±1. C'est donc un automorphisme.
Faites ces exercices : exercice 3-1, question 2. |
Plan vectoriel euclidien
modifierSoit , c'est-à-dire un automorphisme orthogonal de . Les colonnes de forment une base orthonormée pour le produit scalaire standard donc
- avec et .
La condition équivaut à l'existence d'un réel tel que et .
- Si alors , la rotation d'angle .
- Sinon, , la symétrie orthogonale d'axe dirigé par .