Espace euclidien/Exercices/Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Orthonormalisation de Gram-Schmidt
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Exercices no4
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Matrices orthogonales
Exo suiv. :Projection et symétrie orthogonales
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Espace euclidien/Exercices/Orthonormalisation de Gram-Schmidt
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Exercice 4-1

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Pour chaque espace euclidien   muni d'un produit scalaire   :

  • appliquer la méthode de Gram-Schmidt à la famille libre   afin de produire une base orthonormée pour l'espace vectoriel engendré   ;
  • calculer la projection orthogonale de   sur   ;
  • donner les équations de  .
  1.  ,   le produit scalaire usuel,   et  .
  2.  ,   le produit scalaire usuel,  ,  .
  3.  ,  ,   et  .
  4.  ,  ,  ,  .
  5.  ,  ,  ,  .

Exercice 4-2

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  1. Trouver une base orthonormée de   pour le produit scalaire  .
  2. Pour tout réel  , montrer qu'il existe un polynôme   tel que  . Déterminer explicitement   en fonction de  .

Exercice 4-3

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Trouver une base orthonormée de   pour le produit scalaire  .

Exercice 4-4

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On définit un produit scalaire sur   par :

 .

Soit   la forme linéaire sur   définie par

 .

On sait (théorème de représentation de Riesz) qu'il existe un unique   tel que  .

Pour  , calculer  .

Dans   euclidien canonique, soit   l'hyperplan d'équation  .

Trouver l'unique   tel que  .

Même question pour   et pour  .