Espace euclidien/Exercices/Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Exercice 4-1
modifierPour chaque espace euclidien muni d'un produit scalaire :
- appliquer la méthode de Gram-Schmidt à la famille libre afin de produire une base orthonormée pour l'espace vectoriel engendré ;
- calculer la projection orthogonale de sur ;
- donner les équations de .
- , le produit scalaire usuel, et .
- , le produit scalaire usuel, , .
- , , et .
- , , , .
- , , , .
Solution
- .
avec donc et .
car .
Le plan a pour équation . - .
avec donc et .
avec
donc et .
.
L'hyperplan a pour équation , ou encore : (effectivement : les trois vecteurs de vérifient cette équation, donc toute combinaison linéaire de ces trois vecteurs la vérifie aussi). - Vérifions d'abord que la forme bilinéaire symétrique est bien définie positive, et cela sans même appliquer l'algorithme de Gauss : pour tout non nul,
.
.
avec u donc et .
car (car ne contient pas de terme ni ).
Le plan a pour équation 0 , ou encore : (effectivement : les deux vecteurs de vérifient cette équation, donc toute combinaison linéaire de ces trois vecteurs la vérifie aussi). - .
avec donc et .
avec donc
et
.
.
Dans cette question et la suivante, l'équation de l'hyperplan est simplement , en notant les coordonnées d'un polynôme de dans la base canonique . - .
avec donc
et .
avec donc
et
.
.
Exercice 4-2
modifier- Trouver une base orthonormée de pour le produit scalaire .
- Pour tout réel , montrer qu'il existe un polynôme tel que . Déterminer explicitement en fonction de .
Solution
- D'après l'exercice précédent (question 4), , , et le projeté de sur est donc avec donc et . On retrouve ainsi les quatre premiers polynômes de Legendre.
- Pour tout , l'application est une forme linéaire sur donc d'après le théorème de représentation de Riesz, elle est de la forme pour un certain (unique).
.
Exercice 4-3
modifierTrouver une base orthonormée de pour le produit scalaire .
Solution
.
avec donc et .
avec
donc
et .
avec
donc
et
.
Exercice 4-4
modifierOn définit un produit scalaire sur par :
- .
Soit la forme linéaire sur définie par
- .
On sait (théorème de représentation de Riesz) qu'il existe un unique tel que .
Pour , calculer .
Solution
Pour et on trouve .
- . Cherchons tels que : , d'où , c'est-à-dire .
- . Cherchons tels que : , , d'où , c'est-à-dire .
- . Cherchons tels que : , , , d'où , , , .
Dans euclidien canonique, soit l'hyperplan d'équation .
Trouver l'unique tel que .
Même question pour et pour .
Solution
c'est-à-dire c'est-à-dire , et d'où .
De même pour :
et pour : .