Espace préhilbertien réel/Exercices/Produit scalaire
Exercice 6-1
modifierSoit un entier supérieur ou égal à . Démontrer que pour tous réels , on a :
.
En multipliant les deux membres par puis en leur ajoutant , l'inégalité à démontrer est :
- ,
ou encore :
- .
C'est le cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz correspondant aux vecteurs et , dans muni de son produit scalaire usuel.
Par exemple, pour , on obtient :
- .
Exercice 6-2
modifierSoient trois nombres réels strictement positifs. Démontrer l'inégalité suivante :
- .
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tous réels strictement positifs , on a
- .
Il suffit donc de démontrer que pour bien choisis, on a
- .
En posant , l'inégalité à démontrer devient
- ,
ou encore
- ,
ce qui équivaut à
- .
Cette inégalité est donc vraie.
Référence : p. 35 de Algebraic inequalities de Vasile Cirtoaje, reproduit par Daniel Collignon dans sa solution de « A2852 — Trois réels et trois racines pour une inégalité », sur le site Diophante.fr, géré par Philippe Fondanaiche.
Exercice 6-3
modifierSoient .
- Montrer que . Quand a-t-on égalité ?
- Montrer que . Quand a-t-on égalité ?
- Montrer que . Quand a-t-on égalité ?
- Montrer que . Quand a-t-on égalité ?
(Cauchy-Schwarz)
- . Égalité si et seulement si .
- . Égalité si et seulement si .
- . Égalité si et seulement si .
- . Égalité si et seulement si et .