Espace préhilbertien réel/Projecteurs orthogonaux

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Soit E un espace préhilbertien réel, dont le produit scalaire est noté $\langle \cdot |\cdot \rangle$ et la norme associée, $\|\cdot \|$.

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Projection sur un sous-espace vectoriel

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie.

Définition

On appelle projecteur orthogonal sur F, et l'on note $p_{F}$, le projecteur sur F parallèlement à $F^{\perp }$.

Propriété

Soient $x,y\in E$ :

• $\|p_{F}(x)\|\leq \|x\|$ ;
• $\|p_{F}(x)\|=\|x\|\Leftrightarrow x\in F$ ;
• $\langle p_{F}(x)|y\rangle =\langle p_{F}(x)|p_{F}(y)\rangle$.

Démonstration

• $E=F\oplus F^{\perp }$ donc

  ${\begin{matrix}x&=&\underbrace {p_{F}(x)} &+&\underbrace {x-p_{F}(x)} \\&&\in F&&\in F^{\perp }\end{matrix}}$

  On applique le théorème de Pythagore : $\|x\|^{2}=\|p_{F}(x)\|^{2}+\|x-p_{F}(x)\|^{2}$, d'où $\|p_{F}(x)\|\leq \|x\|$.

• On a égalité si et seulement si $\|x-p_{F}(x)\|^{2}=0$, ce qui équivaut à $x=p_{F}(x)$ donc à $x\in F$.
• $p_{F}(x)\in F$ et $y-p_{F}(y)\in F^{\perp }$ donc

  $0=\langle p_{F}(x)|y-p_{F}(y)\rangle =\langle p_{F}(x)|y\rangle -\langle p_{F}(x)|p_{F}(y)\rangle$.

 

Propriété

Si F est de dimension n et si e est une base orthonormée de F alors

$\forall x\in E\quad p_{F}(x)=\sum _{i=1}^{n}\langle e_{i}|x\rangle e_{i}$.

Début d’un théorème

Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie

Soit $x\in E$.

• La distance de $x$ à $F$ vaut $d(x,F)=\|x-p_{F}(x)\|$.
• $d(x,F)^{2}=\|x\|^{2}-\|p_{F}(x)\|^{2}$.
• $p_{F}(x)$ est l'unique vecteur y de F vérifiant $\|x-y\|=d(x,F)$.

Fin du théorème

Décomposition sur une somme directe de sous-espaces vectoriels

Généralisation

Soit $(F_{i})_{1\leq i\leq r}$ une famille de r sous-espaces vectoriels de E, orthogonaux deux à deux et telle que $E=\bigoplus _{i=1}^{r}F_{i}$.

On note $(p_{i})_{1\leq i\leq r}$ la famille de projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition, c'est-à-dire que $\forall i,~p_{i}$ est le projecteur orthogonal sur F_i.

${\rm {Id}}_{E}=\sum _{i=1}^{r}p_{i}$.

$\forall x\in E\quad \|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{r}\|p_{i}(x)\|^{2}$.