Espace préhilbertien réel/Orthogonalité

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On suppose travailler dans E en tant qu'espace préhilbertien réel, muni du produit scalaire $\langle \cdot \mid \cdot \rangle$ et de la norme associée $\|\cdot \|$. Les définitions et propriétés de l'orthogonal d'une partie (chap. 1), relatives à une forme bilinéaire symétrique quelconque, s'appliquent en particulier au produit scalaire.

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Familles orthogonales

Définition

Un vecteur $x\in E$ est dit unitaire ssi $||x||=1$.

Définition

Soit $(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})$ une famille de n vecteurs de E.

• v est orthogonale ssi $\forall (i,j),~i\not =j\Rightarrow (v_{i}|v_{j})=0$
• v est orthonormale

ssi v est orthogonale et $\forall i,||v_{i}||=1$

ssi $\forall (i,j),~(v_{i}|v_{j})=\delta _{i,j}$

Début d’un théorème

Théorème de Pythagore

$\forall (x,y)\in E^{2},~\langle x|y\rangle =0\Leftrightarrow ||x+y||^{2}=||x||^{2}+||y||^{2}$

Théorème de Pythagore généralisé :

Soit $(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})$ une famille orthogonale de E.

On a $\left|\left|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right|\right|^{2}=\sum _{i=1}^{n}||v_{i}||^{2}$

Fin du théorème

Théorème fondamental

Début d’un théorème

Théorème fondamental

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie.

Alors ${\begin{cases}E=F\oplus F^{\perp }\\(F^{\perp })^{\perp }=F\end{cases}}$

Fin du théorème

Démonstration

• Si $x\in F\cap F^{\perp },~\langle x|x\rangle =0\Rightarrow x=0$

Donc $F\cap F^{\perp }=\{0\}$

• Montrons que $E=F+F^{\perp }$

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Soit $x\in E$. F est isomorphe à son dual par l'isomorphisme : ${\begin{array}{ccc}F&\rightarrow &F^{*}\\y&\mapsto &\langle y|\cdot \rangle \end{array}}$

Or, l’application $l=\langle x|\cdot \rangle$ de F dans $\mathbb {R}$ (produit scalaire à gauche par le vecteur x) est une forme linéaire sur F, donc $\exists y\in F,~l=\langle y|\cdot \rangle$.

$\forall v\in F,~\langle x|v\rangle =\langle y|v\rangle$, donc $\forall v\in F,~\langle x-y|v\rangle =0$, donc $x-y\in F^{\perp }$

On a alors $x=y+(x-y)$, avec :

• $y\in F$
• $x-y\in F^{\perp }$

Donc $E=F+F^{\perp }$

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• L'inclusion $F\subset (F^{\perp })^{\perp }$ a déjà été démontrée.
• Montrons que $(F^{\perp })^{\perp }\subset F$.

Soit $x\in (F^{\perp })^{\perp }$

D'après ce qu'on vient de montrer, $\exists y\in F,~\exists z\in F^{\perp },~x=y+z$

Comme $F\subset (F^{\perp })^{\perp },~y\in (F^{\perp })^{\perp }$.

On a alors $z=x-y$, donc $z\in (F^{\perp })^{\perp }$. Or, $z\in F^{\perp }$ et $F^{\perp }\cap (F^{\perp })^{\perp }=\{0\}$

Donc $z=0$, d'où $x=y\in F$

Finalement $(F^{\perp })^{\perp }=F$