Fonction dérivée/Fonction dérivée

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Définition

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $\mathbb {R}$. On rappelle que ƒ est dérivable en un nombre réel a de $I$ si le nombre dérivé de ƒ en a (noté ƒ'(a)) existe.

Dérivabilité

On dit que ƒ est dérivable sur $I$ si, pour tout $a\in I$, ƒ est dérivable en $a$.

Supposons maintenant ƒ dérivable sur $I$. On peut alors définir la fonction dérivée de ƒ.

Fonction dérivée

La fonction dérivée de ƒ, notée $f'$, est la fonction qui, à chaque $x\in I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ de ƒ en $x$.

${\begin{array}{ccccc}f'&:&I&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &f'(x)\end{array}}$

Calcul basique

Dans ce paragraphe, on montre comment calculer à partir de la définition la fonction dérivée d'une fonction donnée sur l'exemple de la fonction carré.

Début de l'exemple

Exemple

On considère la fonction $f:x\mapsto x^{2}$, dont on va démontrer la dérivabilité sur $\mathbb {R}$.

Soit $a\in \mathbb {R}$. On cherche à calculer le nombre dérivé de ƒ en a, c'est-à-dire $\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$.

Pour tout $h\in \mathbb {R}$, on a :

${\begin{aligned}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}&={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\&={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}\\&={\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\&=2a+h.\end{aligned}}$

Le nombre dérivé de ƒ en a est donc $\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=2a$, et ce pour tout $a\in \mathbb {R}$.

On en déduit que la fonction dérivée de $f:x\mapsto x^{2}$ est $f':x\mapsto 2x$.

Fin de l'exemple

On voit bien que cette méthode induit rapidement de gros calculs, aussi par la suite on apprendra une table des dérivées pour les fonctions les plus couramment employées afin d’éviter cette corvée.