Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées

Croissances comparées
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Exercices no8
Leçon : Fonction exponentielle
Chapitre du cours : Croissances comparées

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Équations différentielles
Exo suiv. :Fonction racine n-ième
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Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées
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Exercice 1Modifier

Cet exercice propose une autre méthode que celle du cours pour démontrer que  .

On définit sur   la fonction  .

1° Déterminer   et  .

2° Déterminer le sens de variation sur   de  .

3° En déduire le signe de   sur  .

4° En déduire de sens de variation de   sur  .

5° En déduire le signe de   sur  .

6° Démontrer que  .

7° Conclure.

Exercice 2Modifier

Déterminer les limites suivantes :

  •   ( ,  ) (on pourra utiliser le résultat de l'exercice 3).
  •  
  •  
  •  

Exercice 3Modifier

On se propose de démontrer que pour tout réel  ,  , de quatre façons : soit en s'appuyant sur le cas particulier   démontré en cours, soit en s'appuyant seulement sur le sous-cas   (redémontré dans l'exercice 1 ci-dessus), soit directement de deux façons. On s'intéresse principalement au cas   car pour  , la propriété est immédiate.

  1. Déduire la propriété pour tout réel   du cas particulier  .
  2. Déduire la propriété pour tout réel   du sous-cas  .
  3. Démontrer la propriété pour tout réel   par la même méthode que celle vue en cours pour  .
  4. Pour   et  , on pose  .
    • Montrer que   est décroissante (strictement) sur  .
    • En déduire que   admet en   une limite finie.
    • En appliquant cela à  , en déduire que pour tout réel  ,  .

Exercice 4Modifier

On souhaite comparer l'efficacité de deux traitements antiviraux. Une modélisation de la charge virale (respectivement   et  ) en fonction du temps (en jours) donne :

  • pour le premier traitement,   ;
  • pour le deuxième traitement,  .
  1. Déterminer, pour chacun des traitements, la charge virale moyenne (par unité de temps) entre le début du traitement et l'instant   considéré. Vérifier la valeur limite qu'on trouve quand   tend vers 0.
  2. On estime que le système immunitaire est devenu suffisamment efficace contre le virus au bout de 10 jours. Quel que soit le traitement, les individus guérissent. Quel traitement conseillez-vous (limitation des effets sur l'organisme et de l'apparition de résistance chez les virus)? En serait-il de même si l'on pouvait arrêter le traitement au bout de 3 jours ?