Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite

Série génératrice d'une suite
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Exercices no1
Leçon : Fonction génératrice
Chapitre du cours : Fonction génératrice d'une suite numérique

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Sommaire
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Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite
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Exercice 1-1

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Calculer le carré de la série formelle  , puis vérifier que son produit par   est bien égal à  .

Retrouver ce résultat par dérivation formelle.

Exercice 1-2

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Soit la suite   définie par   et  .

  1. On pose  . Montrer que  .
  2. Montrer que  .
  3. En utilisant l'exercice précédent, en déduire une expression explicite de  .
  4. La vérifier par récurrence.

Exercice 1-3

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Reprendre la méthode précédente pour déterminer l’expression explicite du terme général de la suite   définie par   et  .

Exercice 1-4

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Wikipédia possède un article à propos de « Formule du binôme négatif ».

I) Pour tout entier  , on pose :

 .

Démontrer par récurrence, de deux façons, que   :

  1. en utilisant que   ;
  2. en utilisant que  .

Retrouver ce résultat directement, en utilisant que la dérivée  -ième de   est  .

II) On considère la suite des polynômes de Tchebychev de seconde espèce,

 

(cf. Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11). À l'aide de la question I, montrer que sa série génératrice,

 , est égale à  .

III) Pour tous entiers naturels m, n, en développant de deux façons  , déduire de la question I que pour tout entier rm + n,

 .

Pour une preuve combinatoire du III, voir la question II de Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées#Exercice 7-1.

Exercice 1-5

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Wikipédia possède un article à propos de « Formule du binôme généralisée ».

Cet exercice constitue la démonstration par Euler (en 1773) de la formule du binôme généralisée, dans le cas d'un exposant rationnel.

On définit (pour tout  ) les coefficients binomiaux généralisés :

 ,

puis la série formelle

 .

Pour tous réels   (et tout  ), on note   le  -ième coefficient de la série formelle produit   :

 .
  1. Vérifier que si   alors  .
  2. Démontrer que   est un polynôme en   et   (à coefficients rationnels).
  3. Déduire des deux questions précédentes que   (pour tout  ), donc  .
  4. En déduire que  , en commençant par traiter le cas  .
Remarque
Si  , d'après le critère de D'Alembert, le rayon de convergence de la série entière associée à   est égal à  .
Références
  • Ranjan Roy, Sources in the Development of Mathematics: Series and Products from the Fifteenth to the Twenty-first Century, Cambridge University Press, 2011 [lire en ligne], chap.4.3 (« Euler's proof for rational indices »)  ;
  • L. Euler, « Demonstratio theorematis Neutoniani de evolutione potestatum binomii pro casibus, quibus exponentes non sunt numeri integri », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 19, 1775, p. 103-111 [texte intégral] (E465, présenté à l'Académie de Saint-Pétersbourg le 1er juillet 1773).
Cette preuve est moins bien expliquée sur xymaths.free.fr, et carrément comprise de travers par R. F. Muirhead, « Against Euler's proof of the binomial theorem for negative and fractional exponents », Proc. Edinburgh Math. Soc., vol. 17, 1898, p. 38-41 [lien DOI].