Série entière/Définition formelle - rayon de convergence

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Définition formelle - rayon de convergence
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Chapitre no 2
Leçon : Série entière
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Série entière/Définition formelle - rayon de convergence
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Définition des séries entièresModifier


Par la suite, on notera abusivement   la série de fonctions précédente, en distinguant le cas d'une variable réelle par   et celui d'une variable complexe par  .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Conclusions

  • Un des problèmes majeurs vient de la convergence ou de la divergence de la série entière.
  • On constate au travers de ces exemples que les séries étudiées convergent sur un disque ouvert de centre 0 et de rayon dans  .

Remarque Si   est définie à partir d'un certain rang  , la série   est toujours considérée comme une série entière en complétant   par des zéros.

Lemme d'Abel et rayon de convergenceModifier

Le lemme d'Abel est fondamental dans l'étude des séries entières.

Début d'un lemme
Fin du lemme

La borne supérieure est bien définie sur un ensemble non vide, car 0 en est élément.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème