Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées

Sommations plus compliquées
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Exercices no7
Leçon : Sommation

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommation de combinaisons
Exo suiv. :Sommations de séries entières
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Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées
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Exercice 7-1

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Soit n ∈ ℕ.

I) Montrer que :

 .

II) Soient m et r deux entiers naturels tels que  .

Pour tout entier i tel que  , soit   l'ensemble des parties de   à m + n + 1 éléments dont le (m + 1)-ième (par ordre croissant) est égal à i + 1.

a) Quel est le cardinal de   ?

b) En déduire :

 .

III) En déduire :

 .

Pour une autre preuve du II.b, voir Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite#Exercice 1-4.

Exercice 7-2

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Calculer :

 .

Exercice 7-3

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a) Démontrer que pour tout polynôme   de degré strictement inférieur à n,  .

b) Soit  . On rappelle (exercice 6-1) que  . En déduire

 .