Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées
Exercice 7-1
modifierSoit n ∈ ℕ.
I) Montrer que :
- .
II) Soient m et r deux entiers naturels tels que .
Pour tout entier i tel que , soit l'ensemble des parties de à m + n + 1 éléments dont le (m + 1)-ième (par ordre croissant) est égal à i + 1.
a) Quel est le cardinal de ?
b) En déduire :
- .
III) En déduire :
- .
I) On démontre la première égalité par symétrie des coefficients binomiaux puis inversion d'indice :
- .
On en déduit la seconde par glissement d'indice et formule du binôme :
- .
II) a) Pour former une partie de appartenant à , on choisit :
- dans {1, 2, … , i} ses m éléments avant i + 1,
- dans {i + 2, j + 3, … , r + 1} ses n éléments après i + 1.
Donc .
b) Dans {1, 2, … , r + 1}, il y a parties à m + n + 1 éléments.
On peut aussi les dénombrer en choisissant d'avance la valeur i + 1, dans {m + 1, m + 2, … , r – n + 1}, du (m + 1)-ème élément de cette partie, donc en prenant cette partie dans .
Donc .
III) Pour r = 2n, en sommant le résultat précédent pour m de 0 à n et en se servant du I), on obtient :
- ,
qui est le résultat voulu.
Pour une autre preuve du II.b, voir Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite#Exercice 1-4.
Exercice 7-2
modifierCalculer :
- .
donc
Exercice 7-3
modifiera) Démontrer que pour tout polynôme de degré strictement inférieur à n, .
b) Soit . On rappelle (exercice 6-1) que . En déduire
- .
a) Les n polynômes pour forment une base de .
Il suffit donc de montrer que pour tout , .
b) D'après le rappel et le résultat précédent (appliqué à ),
donc
- .