Fonction logarithme/Exercices/Équations comportant des exponentielles

Exercice 5-1

Résoudre les équations :

a) $2\operatorname {e} ^{2x}-11\operatorname {e} ^{x}+15=0$ ;

b) $3\operatorname {e} ^{2x}+\operatorname {e} ^{x}-10=0$ ;

c) $5\operatorname {e} ^{x}-6\operatorname {e} ^{-x}+7=0$.

Solution

a) L'équation peut s'écrire :

$2\left(\operatorname {e} ^{x}\right)^{2}-11\operatorname {e} ^{x}+15=0$.

En posant X = e^x, elle devient :

$2X^{2}-11X+15=0\Leftrightarrow (2X-5)(X-3)=0$,

soit X = 2,5 ou X = 3.

• Pour X = 2,5 :

  $X=2{,}5\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}=2{,}5\Leftrightarrow x=\ln(2{,}5)$.

• Pour X = 3 :

  $X=3\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}=3\Leftrightarrow x=\ln 3$.

b) L'équation peut s'écrire :

$3\left(\operatorname {e} ^{x}\right)^{2}+\operatorname {e} ^{x}-10=0$.

En posant X = e^x, elle devient :

$3X^{2}+X-10=0\Leftrightarrow (3X-5)(X+2)=0$,

soit X = 5/3 ou X = –2.

• Pour X = 5/3 :

  $X={\frac {5}{3}}\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}={\frac {5}{3}}\Leftrightarrow x=\ln \left({\frac {5}{3}}\right)$.

• Pour X = –2 :

  $X=-2\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}=-2$.

Une exponentielle étant toujours strictement positive, il n'y a pas de solution correspondant à X = –2.

c) En multipliant les deux membres de l'équation par e^x, l'équation équivaut à :

$5\operatorname {e} ^{2x}-6+7\operatorname {e} ^{x}=0$.

Elle peut alors s'écrire :

$5\left(\operatorname {e} ^{x}\right)^{2}+7\operatorname {e} ^{x}-6=0$.

En posant X = e^x, elle devient :

$5X^{2}+7X-6=0\Leftrightarrow (5X-3)(X+2)=0$,

soit X = 3/5 ou X = –2.

• Pour X = 3/5 :

  $X={\frac {3}{5}}\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}={\frac {3}{5}}\Leftrightarrow x=\ln \left({\frac {3}{5}}\right)$.

• Pour X = –2 :

  $X=-2\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}=-2$.

Une exponentielle étant toujours strictement positive, il n'y a pas de solution correspondant à X = –2.

 

Exercice 5-2

Résoudre les équations :

1. $\operatorname {e} ^{3x+2}+{\frac {\mathrm {e} }{\operatorname {e} ^{3x+2}}}=\mathrm {e} +1$ ;
2. $\operatorname {e} ^{2x+1}+4\operatorname {e} ^{x+1}=3\left(\operatorname {e} ^{x}+4\right)$ ;
3. $2\operatorname {e} ^{2x-4}+5\operatorname {e} ^{x-2}-3=0$.

Solution

1. En posant X = e^3x+2,

   ${\begin{aligned}\operatorname {e} ^{3x+2}+{\frac {\mathrm {e} }{\operatorname {e} ^{3x+2}}}=\mathrm {e} +1&\Leftrightarrow X^{2}-\left(\mathrm {e} +1\right)X+\mathrm {e} =0\\&\Leftrightarrow X\in \{\mathrm {e} ,1\}\\&\Leftrightarrow 3x+2\in \{1,0\}\\&\Leftrightarrow x\in \left\{-{\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}}\right\}.\end{aligned}}$

2. En posant X = e^x (donc X > 0),

   ${\begin{aligned}\operatorname {e} ^{2x+1}+4\operatorname {e} ^{x+1}=3\left(\operatorname {e} ^{x}+4\right)&\Leftrightarrow \mathrm {e} X^{2}+(4\mathrm {e} -3)X-12=0\\&\Leftrightarrow X=3\\&\Leftrightarrow x=\ln 3.\end{aligned}}$

3. En posant X = e^x–2 (donc X > 0),

   ${\begin{aligned}2\operatorname {e} ^{2x-4}+5\operatorname {e} ^{x-2}-3=0&\Leftrightarrow 2X^{2}+5X-3=0\\&\Leftrightarrow X={\frac {1}{2}}\\&\Leftrightarrow x=2-\ln 2.\end{aligned}}$

 

Exercice 5-3

Résoudre les équations :

1. ${\frac {\operatorname {e} ^{3x}-\operatorname {e} ^{2x}-14\operatorname {e} ^{x}+24}{\operatorname {e} ^{x}-1}}=0$ ;
2. ${\frac {2\operatorname {e} ^{3x}-3\operatorname {e} ^{2x}}{3\operatorname {e} ^{x}-2}}=1$ ;
3. ${\frac {\operatorname {e} ^{2x}-6}{2-2\operatorname {e} ^{x}}}=1$.

Solution

1. En posant X = e^x (donc X > 0),

   ${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {e} ^{3x}-\operatorname {e} ^{2x}-14\operatorname {e} ^{x}+24}{\operatorname {e} ^{x}-1}}=0&\Leftrightarrow X^{3}-X^{2}-14X+24=0\\&\Leftrightarrow X\in \{2,3\}\\&\Leftrightarrow x\in \{\ln 2,\ln 3\}.\end{aligned}}$

2. En posant X = e^x (donc X > 0),

   ${\begin{aligned}{\frac {2\operatorname {e} ^{3x}-3\operatorname {e} ^{2x}}{3\operatorname {e} ^{x}-2}}=1&\Leftrightarrow 2X^{3}-3X^{2}=3X-2\\&\Leftrightarrow X\in \left\{{\frac {1}{2}},2\right\}\\&\Leftrightarrow x\in \{-\ln 2,\ln 2\}.\end{aligned}}$

3. En posant X = e^x (donc X > 0),

   ${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {e} ^{2x}-6}{2-2\operatorname {e} ^{x}}}=1&\Leftrightarrow X^{2}-6=2-2X\\&\Leftrightarrow X=2\\&\Leftrightarrow x=\ln 2.\end{aligned}}$

 

Exercice 5-4

Résoudre les équations :

1. $\operatorname {e} ^{4x}-2\operatorname {e} ^{3x}-9\operatorname {e} ^{2x}+18\operatorname {e} ^{x}=0$ ;
2. $6\operatorname {e} ^{5x+2}-7{\sqrt {\operatorname {e} ^{8x+4}}}+\operatorname {e} ^{3x+2}=0$ ;
3. $\operatorname {e} ^{4x+2}-{\frac {\operatorname {e} ^{2}}{\operatorname {e} ^{4x+2}}}=\operatorname {e} ^{2}-1$.

Solution

1. En posant X = e^x (donc X > 0),

   ${\begin{aligned}\operatorname {e} ^{4x}-2\operatorname {e} ^{3x}-9\operatorname {e} ^{2x}+18\operatorname {e} ^{x}=0&\Leftrightarrow X^{3}-2X^{2}-9X+18=0\\&\Leftrightarrow X\in \{2,3\}\\&\Leftrightarrow x\in \{\ln 2,\ln 3\}.\end{aligned}}$

2. En posant X = e^x (donc X ≠ 0),

   ${\begin{aligned}6\operatorname {e} ^{5x+2}-7{\sqrt {\operatorname {e} ^{8x+4}}}+\operatorname {e} ^{3x+2}=0&\Leftrightarrow 6X^{2}-7X+1=0\\&\Leftrightarrow X\in \left\{1,{\frac {1}{6}}\right\}\\&\Leftrightarrow x\in \{0,-\ln 6\}.\end{aligned}}$

3. En posant X = e^4x+2 (donc X > 0),

   ${\begin{aligned}\operatorname {e} ^{4x+2}-{\frac {\operatorname {e} ^{2}}{\operatorname {e} ^{4x+2}}}=\operatorname {e} ^{2}-1&\Leftrightarrow X^{2}-(\operatorname {e} ^{2}-1)X-\operatorname {e} ^{2}=0\\&\Leftrightarrow X=\operatorname {e} ^{2}\\&\Leftrightarrow x=0.\end{aligned}}$