Fonction logarithme/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant

Exercice 6-1

Trouver un entier $n$ tel que :

$a)\quad 2^{n}=131072$

$b)\quad 3^{n}+3=177150$

$c)\quad 3\times 7^{n}=352947$

Solution

a) Prenons le logarithme népérien des deux membres :

$\ln(2^{n})=\ln(131072)\Leftrightarrow n\ln 2=\ln(131072)\Leftrightarrow n={\frac {\ln(131072)}{\ln 2}}\Leftrightarrow n=17$.

b) Nous avons :

$3^{n}+3=177150\Leftrightarrow 3^{n-1}=59049$.

Prenons le logarithme népérien des deux membres :

$\ln(3^{n-1})=\ln(59049)\Leftrightarrow (n-1)\ln 3=\ln(59049)\Leftrightarrow n=1+{\frac {\ln(59049)}{\ln 3}}\Leftrightarrow n=11$.

c) Nous avons :

$3\times 7^{n}=352947\Leftrightarrow 7^{n}=117649$.

Prenons le logarithme népérien des deux membres :

$\ln(7^{n})=\ln(117649)\Leftrightarrow n\ln 7=\ln(117649)\Leftrightarrow n={\frac {\ln(117649)}{\ln 7}}\Leftrightarrow n=6$

 

Exercice 6-2

Résoudre les équations suivantes :

1. $2^{3x+1}=8^{5x-3}$ ;
2. $2^{x}+{\frac {6}{2^{x}}}=5$ ;
3. $3^{4x}=9^{\frac {8x-5}{8x-8}}$.

Solution

1. $2^{3x+1}=8^{5x-3}\Leftrightarrow 3x+1=3(5x-3)\Leftrightarrow x={\frac {5}{6}}$.
2. $2^{x}+{\frac {6}{2^{x}}}=5\Leftrightarrow 2^{x}\in \{2,3\}\Leftrightarrow x\in \left\{1,{\frac {\ln 3}{\ln 2}}\right\}$.
3. $3^{4x}=9^{\frac {8x-5}{8x-8}}\Leftrightarrow 2x={\frac {8x-5}{8x-8}}\Leftrightarrow x\in \left\{{\frac {1}{4}},{\frac {5}{4}}\right\}$.

 

Exercice 6-3

Résoudre les équations suivantes :

1. $5^{\sin x}+{\frac {2}{5^{\sin x}}}=3$ ;
2. $7^{x+{\frac {4}{3}}}-5^{3x}=2\left(7^{x+{\frac {1}{3}}}+5^{3x-1}\right)$ ;
3. $2^{x+2}+4^{x+1}=224$.

Solution

1. $5^{\sin x}+{\frac {2}{5^{\sin x}}}=3\Leftrightarrow 5^{\sin x}\Leftrightarrow 5^{\sin x}\in \{1,2\}\Leftrightarrow \sin x\in \left\{0,{\frac {\ln 2}{\ln 5}}\right\}$.

   Les solutions $x{\pmod {2\pi }}$ sont donc $0$, $\pi$, $\arcsin {\frac {\ln 2}{\ln 5}}$ et $\pi -\arcsin {\frac {\ln 2}{\ln 5}}$.

2. $7^{x+{\frac {4}{3}}}-5^{3x}=2\left(7^{x+{\frac {1}{3}}}+5^{3x-1}\right)\Leftrightarrow 5.7^{x+1/3}=5^{3x+1}\left({\frac {1}{5}}+{\frac {2}{25}}\right)\Leftrightarrow \left({\frac {7}{125}}\right)^{x+1/3}={\frac {7}{125}}\Leftrightarrow x+1/3=1\Leftrightarrow x=2/3$.
3. $2^{x+2}+4^{x+1}=224\Leftrightarrow 2^{x}+(2^{x})^{2}=56\Leftrightarrow 2^{x}=7\Leftrightarrow x={\frac {\ln 7}{\ln 2}}$.

 

Exercice 6-4

Résoudre les inéquations suivantes :

1. $8^{x}<2^{2x+5}$ ;
2. $\operatorname {e} ^{\sin x}-{\frac {9}{\operatorname {e} ^{\sin x}}}\geqslant 0$ ;
3. $\operatorname {e} ^{\sin x}+{\frac {9}{\operatorname {e} ^{\sin x}}}\geqslant 0$.

Solution

1. $8^{x}<2^{2x+5}\Leftrightarrow 2^{x}<2^{5}\Leftrightarrow x<5$.
2. $\operatorname {e} ^{\sin x}\geq {\frac {9}{\operatorname {e} ^{\sin x}}}\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{\sin x}\geq 3\Leftrightarrow \sin x\geq \ln 3\Rightarrow \sin x>1$ donc il n'y a pas de solution.
3. $\operatorname {e} ^{\sin x}\geq -{\frac {9}{\operatorname {e} ^{\sin x}}}\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{2\sin x}\geq -9$ donc tout réel est solution.