En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Étude d'une fonction comprenant un logarithme Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
1. On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle , et la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.
a. Étudier la limite de en .
b. Étudier la limite de en 0 et en déduire l’existence d'une asymptote à la courbe .
c. Montrer que pour tout réel de l'intervalle ,
d. Déduire de la partie A le signe de pour tout puis le sens de variation de sur l'intervalle .
e. Faire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle .
2. Soit la droite d'équation
a. Montrer que la droite est asymptote à la courbe .
b. Montrer que le point d'intersection de et de a pour coordonnées .
c. Sur l'intervalle , déterminer la position de la courbe par rapport à la droite .
3. En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin la droite et la courbe .
4. On considère la fonction définie sur l'intervalle par pour tout
a. En remarquant que est de la forme , déterminer une primitive de la fonction , que l’on notera .
b. Calculer en l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe , la droite et les droites d'équations et .
Solution
1.a. *
En additionnant les limites (ce qui est possible dans ce cas), on obtient
b. * donc
On obtient finalement
Cela implique pour la courbe représentative de f la propriété suivante :
admet pour asymptote au voisinage de 0 la droite d'équation x=0
c. On pose deux fonctions u et v définies par :
pour tout
pour tout
u et v sont dérivables sur I et leurs dérivées valent
pour tout
pour tout
La dérivée de f vaut alors pour tout
Donc pour tout
d. * pour tout d’après la partie A
pour tout
Donc pour tout , donc f est strictement croissante sur I
e.
2.a. * Pour tout
donc
Donc la droite est asymptote à au voisinage de
b. * On résout l'équation d'inconnue pour trouver l'abscisse du point d'intersection
L'ordonnée du point d'intersection est alors , car il est sur
Donc le point d'intersection de et de a pour coordonnées .
c. On étudie pour tout le signe de l’expression .
Soit :
Pour tout
est au-dessus de (par croissance de la fonction ln)
Finalement :
sur l'intervalle , est en-dessous de
sur l'intervalle , est au-dessus de
3.
4.a. Séparons la fonction à intégrer en deux parties :
Avec :
Comme une primitive sur I de est , on trouve une primitive de sur I :
Pour la seconde, nous allons utiliser l'indication. Quelles sont les fonctions dont la dérivée est de la forme u'.u ? Si on ne s'en souvient pas, il est possible de repartir de la dérivée du produit uv :
Lorsque u = v, cela donne en particulier :
Par conséquent, à un facteur 2 près, une primitive de u'.u est u².
Dans notre cas, . On a bien pour tout
Une primitive de sur I est ainsi :
Finalement, les primitives de h sont les fonctions H telles que pour tout :
où K est une constante. Puisqu'on ne demande qu'une primitive, on peut par exemple choisir K = 0.
Finalement, une primitive de h est
b.
L'aire que l’on cherche à calculer est l'aire rouge. On peut facilement calculer :
(aire rouge+aire bleue), qui correspond à l'intégrale de la fonction f entre et
aire bleue, qui correspond à l'intégrale de la fonction dont la courbe est entre et