Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme

Étude d'une fonction comprenant un logarithme
Image logo représentative de la faculté
Exercices no4
Leçon : Fonction logarithme

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Primitive d'une fraction rationnelle
Exo suiv. :Équations comportant des exponentielles
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Étude d'une fonction comprenant un logarithme
Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Dans tout le problème, désigne l'intervalle .

Partie AModifier

Soit   la fonction définie par pour tout  .

On admet que le tableau de variation de   est le suivant :

 

1. Calculer  .

2. En déduire que   est une fonction positive sur l'intervalle  .

Partie BModifier

Soit   la fonction définie pour tout   par 

1. On note   la fonction dérivée de la fonction   sur l'intervalle  , et   la courbe représentative de la fonction   dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.

a. Étudier la limite de   en  .
b. Étudier la limite de   en 0 et en déduire l’existence d'une asymptote à la courbe  .
c. Montrer que pour tout réel   de l'intervalle  ,  
d. Déduire de la partie A le signe de   pour tout   puis le sens de variation de   sur l'intervalle  .
e. Faire le tableau de variations de la fonction   sur l'intervalle  .

2. Soit   la droite d'équation  

a. Montrer que la droite   est asymptote à la courbe  .
b. Montrer que le point d'intersection de   et de   a pour coordonnées  .
c. Sur l'intervalle  , déterminer la position de la courbe   par rapport à la droite  .

3. En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin la droite   et la courbe  .

4. On considère la fonction   définie sur l'intervalle   par pour tout  

a. En remarquant que   est de la forme  , déterminer une primitive de la fonction  , que l’on notera  .
b. Calculer en   l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe  , la droite   et les droites d'équations   et  .