1.
Méthode générale
On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :
Δ = b 2 − 4 a c = 36 + 4 × 16 = 36 + 64 = 100 {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=36+4\times 16=36+64=100}
On a Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} , donc le polynôme admet deux racines :
x 1 = − b − Δ 2 a = 6 + 10 2 = 8 {\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {6+10}{2}}=8}
x 2 = − b + Δ 2 a = 6 − 10 2 = − 2 {\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {6-10}{2}}=-2}
Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :
− x 2 + 6 x + 16 = − ( x + 2 ) × ( x − 8 ) {\displaystyle -x^{2}+6x+16=-\left(x+2\right)\times \left(x-8\right)}
Méthode alternative
Une racine évidente de ce polynôme est x ₁ = –2.
On sait que la somme des racines égale –b /a = 6 ; on en déduit la seconde racine x ₂ = 8. On résout ainsi directement le problème :
− x 2 + 6 x + 16 = − ( x + 2 ) × ( x − 8 ) {\displaystyle -x^{2}+6x+16=-\left(x+2\right)\times \left(x-8\right)} .2. On a :
f ( x ) = 1 − x 2 + 6 x + 16 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{-x^{2}+6x+16}}} et l'on cherche a {\displaystyle a} et b {\displaystyle b} tels que :
f ( x ) = a − x + 8 + b x + 2 {\displaystyle f(x)={\frac {a}{-x+8}}+{\frac {b}{x+2}}} .Mettons ces fractions au même dénominateur :
a − x + 8 + b x + 2 = a ( x + 2 ) ( − x + 8 ) × ( x + 2 ) + b ( − x + 8 ) ( − x + 8 ) × ( x + 2 ) = a x + 2 a − b x + 8 b ( − x + 8 ) × ( x + 2 ) = ( a − b ) x + 2 a + 8 b ( − x + 8 ) × ( x + 2 ) = ( a − b ) x + 2 a + 8 b − x 2 + 6 x + 16 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{-x+8}}+{\frac {b}{x+2}}&={\frac {a(x+2)}{(-x+8)\times (x+2)}}+{\frac {b(-x+8)}{(-x+8)\times (x+2)}}\\&={\frac {ax+2a-bx+8b}{(-x+8)\times (x+2)}}\\&={\frac {(a-b)x+2a+8b}{(-x+8)\times (x+2)}}\\&={\frac {(a-b)x+2a+8b}{-x^{2}+6x+16}}\end{aligned}}}
Les nombres a {\displaystyle a} et b {\displaystyle b} sont ainsi solution lorsque :
{ a − b = 0 2 a + 8 b = 1. {\displaystyle {\begin{cases}a-b=0\\2a+8b=1.\end{cases}}} On trouve : a = b = 1 10 {\displaystyle a=b={\frac {1}{10}}} .
3. Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédemment :
f ( x ) = 1 / 10 − x + 8 + 1 / 10 x + 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1/10}{-x+8}}+{\frac {1/10}{x+2}}} En effet, on connaît des primitives des fonctions de la forme u'/u (ce sont des logarithmes ln | u | {\displaystyle \ln |u|} ). Dans notre cas, si l'on pose :
u 1 = − x + 8 {\displaystyle u_{1}=-x+8} et u 2 = x + 2 {\displaystyle u_{2}=x+2} ,en dérivant :
u 1 ′ = − 1 {\displaystyle u'_{1}=-1} et u 2 ′ = 1 {\displaystyle u'_{2}=1} .Par conséquent :
u 1 ′ u 1 = − 1 − x + 8 {\displaystyle {\frac {u'_{1}}{u_{1}}}=-{\frac {1}{-x+8}}} , u 2 ′ u 2 = 1 x + 2 {\displaystyle {\frac {u'_{2}}{u_{2}}}={\frac {1}{x+2}}} et l'on peut réécrire f {\displaystyle f} sous la forme :
f ( x ) = − 1 10 u 1 ′ u 1 + 1 10 u 2 ′ u 2 {\displaystyle f(x)=-{\frac {1}{10}}{\frac {u'_{1}}{u_{1}}}+{\frac {1}{10}}{\frac {u'_{2}}{u_{2}}}} .On peut alors facilement trouver que les primitives de f {\displaystyle f} sont les fonctions :
F ( x ) = − 1 10 ln | 8 − x | + 1 10 ln | x + 2 | + K {\displaystyle F(x)=-{\frac {1}{10}}\ln |8-x|+{\frac {1}{10}}\ln |x+2|+K} où K {\displaystyle K} est une constante.