1. On pose deux fonctions u et v dérivables telles que :
- Pour tout
![{\displaystyle x\in ]-1;+\infty [,~u(x)=1+x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da124ba26afd6b69f5245a50431e8fc1555302f)
- Pour tout
![{\displaystyle x\in ]0;+\infty [,~v(x)=\ln(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f9acc2a1c10c07fbe6961bd0bcd5ebad653ce9)
On écrit que, pour tout
:
La dérivée de
est
- Pour tout
![{\displaystyle x\in ]-1;+\infty [,~u'(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1fdf52159d659fbf33c63523d39a2402979167)
- Pour tout
![{\displaystyle x\in ]0;+\infty [,~v'(x)={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f44881410863abb6ddde332b031077c7eef0e6)
- Pour tout
![{\displaystyle x\in ]-1;+\infty [,~g'(x)={\frac {1}{2}}~\left(1\times {\frac {1}{1+x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f1c94417002d565dbdac4ea5e13115d1141d20)
Finalement, pour tout
|
2. Pour tout
, donc sur l'intervalle de définition, la fonction
est strictement positive.
Par conséquent :
g est une fonction strictement croissante.
|
3.
et
donc
Donc
Donc
|
4.
et
donc
Donc
Donc
|
5.
6. Soit
g est bien solution de l'équation différentielle (E)
|