Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)

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Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)
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ExempleModifier

On considère des fonctions de la forme :

 

  est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle  . Par exemple, la fonction   définie par :

pour tout  

est la fonction composée :

  • de la fonction affine   définie par pour tout   ;
  • et de la fonction logarithme népérien.

Or, la fonction   n'est définie que sur  . Pour que   soit définie en  , il faut et il suffit que  , c'est-à-dire  .

Le domaine de définition de   est alors  .

Pour calculer  , on utilise la formule

pour tout  

d'où l’expression de la dérivée de   :

pour tout  .

Ici,   ; on généralise ce procédé au cas où   n’est pas forcément affine :

Début d’un théorème
Fin du théorème


La dérivée logarithmique, bien que reliée à la fonction logarithme par ce théorème qui justifie son appellation, est donc définie indépendamment, et ses propriétés algébriques se déduisent directement de celles de la dérivation :


ExercicesModifier

Sans se préoccuper du domaine  , dériver les fonctions   suivantes :

1.  

  •  
  •  
  •  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

Début d’un principe
Fin du principe