Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)

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Exemple

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On considère des fonctions de la forme :    est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle  .

Par exemple, la fonction   définie par :  , est la fonction composée :

  • de la fonction affine   définie par :  
  • de la fonction logarithme népérien.


Or, la fonction   n'est définie que sur  .

Pour que   soit définie en  , il faut et il suffit que  , c'est-à-dire  .

Le domaine de définition de   est alors  .

Pour calculer  , on utilise la formule :  

En reprenant l'exemple ci-dessus, l’expression de la dérivée de   est la suivante :  

Ici,  . On généralise ce procédé dans le cas où   n’est pas forcément une fonction affine :

Début d’un théorème
Fin du théorème


La dérivée logarithmique, bien que reliée à la fonction logarithme par ce théorème qui justifie son appellation, est définie indépendamment, et ses propriétés algébriques se déduisent directement de celles de la dérivation :


Exercices

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Sans se préoccuper du domaine  , dériver les fonctions   suivantes :

1.  

  •  
  •  
  •  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

Début d’un principe
Fin du principe