Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)
Exemple
modifierOn considère des fonctions de la forme : où est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle .
Par exemple, la fonction définie par : , est la fonction composée :
- de la fonction affine définie par :
- de la fonction logarithme népérien.
Or, la fonction n'est définie que sur .
Pour que soit définie en , il faut et il suffit que , c'est-à-dire .
Le domaine de définition de est alors .
Pour calculer , on utilise la formule :
En reprenant l'exemple ci-dessus, l’expression de la dérivée de est la suivante :
Ici, . On généralise ce procédé dans le cas où n’est pas forcément une fonction affine :
Soit une fonction définie sur un domaine par l'expression :
où est dérivable et strictement positive sur . Alors est dérivable sur et sa dérivée est la dérivée logarithmique de , c'est-à-dire : .
La dérivée logarithmique, bien que reliée à la fonction logarithme par ce théorème qui justifie son appellation, est définie indépendamment, et ses propriétés algébriques se déduisent directement de celles de la dérivation :
Soient et deux fonctions dérivables et non nulles sur un intervalle .
La dérivée logarithmique du produit de ces deux fonctions est égale à la somme de leurs dérivées logarithmiques respectives.
La dérivée logarithmique du quotient de ces deux fonctions est égale à la différence de leurs dérivées logarithmiques respectives.
- .
Exercices
modifierSans se préoccuper du domaine , dériver les fonctions suivantes :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
donc
4.
donc
5.
6.
La dérivée logarithmique d'un produit est la somme des dérivées logarithmiques des facteurs, et l'on a des règles analogues pour un quotient ou une puissance.