Fonction logarithme/Exercices/Utilisation des propriétés du logarithme
Propriétés algébriques
modifier1. Simplifier les nombres suivants au maximum.
- a.
- b.
- c.
- d.
- e.
2. Simplifier au maximum les expressions algébriques suivantes.
- a.
- b.
- c.
- d.
3. Résoudre les équations
- a.
- b.
1. a.
- b.
- c.
- d.
- e.
2. a.
- b.
- c.
- d.
3. a. L'équation équivaut à et donc son unique solution est .
- b. L'équation équivaut à et donc son unique solution est .
Utilisation de la stricte croissance et du signe
modifier1. Comparer les nombres suivants sans calculer de valeurs approchées.
- a. et ;
- b. et .
2. Quel est le plus petit entier tel que ?
3. Comparer les expressions algébriques suivantes.
- a. et pour ;
- b. et pour .
4. Résoudre l'inéquation .
On utilisera constamment que est strictement croissante.
1.a
- donc .
1.b.
- donc .
2. L'inégalité est équivalente à :
- ou encore à :
- ,
- c'est-à-dire à :
- .
- Le plus petit entier vérifiant cette inégalité est donc
- ,
- où désigne la fonction partie entière.
- donc
- .
- La solution est donc finalement :
- ,
- à condition que l'approximation de par n'ait pas provoqué une erreur par excès, donc vérifions :
- .
3.a. . On va donc chercher à comparer à .
- , c'est-à-dire
- donc
- .
3.b. Soit .
- donc
- donc
- (l'inégalité est même stricte, sauf si ).
4. .
Ensemble de définition
modifierDémontrer que l'expression est définie pour tout réel .
.
Étude d'une fonction
modifierÉtudier la fonction définie par : domaine de définition et de dérivabilité, dérivée, variations, limites aux bornes, graphe.
.
Sur ce domaine, est définie et dérivable et .
Le tableau de variations (avec les limites aux bornes) est donc