Fonction logarithme/Logarithme de base quelconque

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Insuffisance de ln

On a vu que le logarithme népérien, aussi appelé logarithme naturel, présente la propriété suivante.

Propriétés fondamentales du logarithme naturel

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\ln(e^{x})=x$
• $\ln(e)=1$

Or, on rencontre souvent dans la nature, des expressions semblables, mais n'utilisant pas la fonction exponentielle sous sa forme e^x.

Par exemple, en chimie, le pH est relié à la concentration en ions hydronium H₃O⁺ par la relation [H₃O⁺] = 10^-pH. Comment exprimer alors le pH en fonction de [H₃O⁺] ?

Base d'un logarithme

Définition

Définition

Soit $a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\backslash \{1}\$. On appelle logarithme de base a et on note log_a la fonction définie sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ par : $\log _{a}:x\mapsto {\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}$

Propriétés algébriques du logarithme de base a

Cette section nécessite des connaissances sur l'exponentielle de base a. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Soient les réels $a$ et $b$ strictement positifs et différents de 1.

Soient les réels $x$ et $y$ strictement positifs.

Alors :

• $\log _{a}(a^{x})=x\quad \forall x\in \mathbb {R}$
• $\log _{a}(a)=1$
• $\log _{a}(1)=0$
• $\log _{a}(x.y)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$
• $\log _{a}({x \over y})=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$
• $n.\log _{a}(x)=\log _{a}(x^{n})\quad \forall n\in \mathbb {Q}$
• $\log _{a}(x)+\log _{b}(x)={\ln(x).\ln(ab) \over \ln(a).\ln(b)}$
• $\log _{a}(x)-\log _{b}(x)={\ln(x).\ln({b \over a}) \over \ln(a).\ln(b)}$

Début de l'exemple

Exemple

• Le logarithme naturel est le logarithme de base e.
• pH = - log₁₀([H₃O⁺])

Fin de l'exemple

Logarithme décimal

Définition

On appelle logarithme décimal le logarithme en base 10.

Il est souvent écrit log (au lieu de log₁₀).