Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes

Fonctions holomorphes
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Exercices no3
Leçon : Fonctions d'une variable complexe

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Trigonométrie complexe
Exo suiv. :Sommaire
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Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes
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Exercice 3-1Modifier

On désigne par  ,   et   les trois racines cubiques de   et l'on note   pour  . On pose  .

  1. Montrer que   est un domaine de   tel que si   alors   et que l'application holomorphe   est surjective.
  2. On désignera par   la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine  .
    Calculer la dérivée de la fonction holomorphe  .
  3. Écrire le développement en série entière de   au voisinage de   en précisant son rayon de convergence.

Exercice 3-2Modifier

Soit   une fonction holomorphe sur le disque   avec  .

  1. Démontrer les propriétés suivantes :
    1.   si   ;
    2.   si  .
    1. Vérifier que si   et  , on a la relation suivante :
       .
    2. Démontrer la formule suivante :
        si  .
  2. Montrer que cette formule reste valable si   est holomorphe sur   et continue sur   (considérer, pour  , la fonction  ).
  3. Soit   une fonction holomorphe sur   et continue sur   telle que   si  . Que peut-on dire de   ?

Exercice 3-3Modifier

Soient   deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle   en posant

  si  

  sont les pôles de  , c.-à-d. les zéros de  .

On désignera par   le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante :   et  .

    1. Montrer que   se prolonge en une application continue de   dans  , que l'on notera encore  . Quelles sont les images des pôles   par le prolongement   ?
    2. Rappeler pourquoi deux fractions rationnelles   et   qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de  , coïncident partout sur  .
      Dans toute la suite, on suppose que   est une fraction rationnelle de la variable complexe   vérifiant la propriété suivante :
        si  .
  1. Pour chaque point  , on pose
     .
    On suppose dans cette question que   est une homographie   qui vérifie  . Montrer qu'il existe   et   tels que   pour tout  .
  2. On revient au cas général d'une fraction rationnelle   vérifiant   et l'on définit la fonction suivante :
     
      désigne le conjugué de  . Montrer que   est une fraction rationnelle de la variable complexe   vérifiant   pour  . Comparer   et   sur  .
    1. Montrer qu'un élément   est un zéro de   si et seulement si   est un pôle de  . Interpréter géométriquement ce résultat.
    2. Montrer que si   et  , alors il existe   tel que   s'écrive sous la forme
       
        sont les zéros de   comptés avec leur multiplicité.
  3. Déterminer toutes les fractions rationnelles qui vérifient  .