Topologie générale/Connexité

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Connexité
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Chapitre no 11
Leçon : Topologie générale
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Exercices :

Connexité
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La connexité formalise la notion intuitive d'espace en un seul morceau. Un intervalle compact de est connexe, mais la réunion de deux segments disjoints ne l'est pas.

Espaces et ensembles connexesModifier

 
L'espace vert est connexe alors que l'espace bleu ne l'est pas.


Une autre condition équivalente est :   est connexe si pour toute décomposition  , où   sont des ouverts disjoints, on a :   ou   est vide.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Début de l'exemple
Fin de l'exemple





La réunion d'espace connexes n’est pas généralement connexe : les intervalles   et   le sont mais leur réunion ne l'est pas.


Application définie sur un connexeModifier





Composantes connexes et connexité localeModifier

Composante connexeModifier

Nous avons vu que la réunion d'espaces connexes dont l'intersection est non vide est connexe. La réunion des parties connexes contenant un point   d’un espace topologique   l'est donc : c’est la plus grande partie connexe de   contenant  .


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On dit qu'un espace est totalement discontinu si la composante connexe de chacun de ses points est l’ensemble réduit à ce point. En particulier, un ensemble discret est totalement discontinu.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Ainsi, tout espace topologique se décompose en une union disjointe de parties connexes maximales (pour l'inclusion).


Connexité localeModifier

 
Dans un espace topologique, V est un voisinage de p et contient un voisinage connexe de p (le disque vert fonçé).


  Connexe n'implique pas localement connexe, et localement connexe n'implique pas connexe : cf. exemples ci-dessous.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple




Connexité par arcsModifier

Définitions et premières propriétésModifier





Début de l'exemple
Fin de l'exemple




Notion de composante connexe par arcsModifier



La classe de   est alors le plus grand connexe par arcs de   (au sens de l'inclusion) contenant  .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


RéférenceModifier

  1. O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev et V. M. Kharlamov, Elementary Topology, AMS, 2008 [lire en ligne], p. 87 et 123 .