Topologie générale/Connexité

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La connexité formalise la notion intuitive d'espace en un seul morceau. Un intervalle compact de est connexe, mais la réunion de deux segments disjoints ne l'est pas.

Connexité
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Chapitre no 11
Leçon : Topologie générale
Chap. préc. :Complétude
Chap. suiv. :Compacité

Exercices :

Connexité
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Topologie générale/Connexité
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Espaces et ensembles connexes

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L'espace vert est connexe alors que l'espace bleu ne l'est pas.


Une autre condition équivalente est :   est connexe si pour toute décomposition  , où   sont des ouverts disjoints, on a :   ou   est vide.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Début de l'exemple
Fin de l'exemple





La réunion d'espace connexes n’est pas généralement connexe : les intervalles   et   le sont mais leur réunion ne l'est pas.


Application définie sur un connexe

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Composantes connexes et connexité locale

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Composante connexe

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Nous avons vu que la réunion d'espaces connexes dont l'intersection est non vide est connexe. La réunion des parties connexes contenant un point   d’un espace topologique   l'est donc : c’est la plus grande partie connexe de   contenant  .


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On dit qu'un espace est totalement discontinu si la composante connexe de chacun de ses points est l’ensemble réduit à ce point. En particulier, un ensemble discret est totalement discontinu.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Ainsi, tout espace topologique se décompose en une union disjointe de parties connexes maximales (pour l'inclusion).


Connexité locale

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Dans un espace topologique, V est un voisinage de p et contient un voisinage connexe de p (le disque vert fonçé).


  Connexe n'implique pas localement connexe, et localement connexe n'implique pas connexe : cf. exemples ci-dessous.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple




Connexité par arcs

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Définitions et premières propriétés

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple




Notion de composante connexe par arcs

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La classe de   est alors le plus grand connexe par arcs de   (au sens de l'inclusion) contenant  .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Référence

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  1. O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev et V. M. Kharlamov, Elementary Topology, AMS, 2008 [lire en ligne], p. 87 et 123 .