Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions zêta

Exercice 1-1

Soit $q$ un nombre complexe de partie réelle $>0$.

On rappelle (Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-7 et Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-5) que :

• la fonction zêta de Hurwitz $\zeta (\cdot ,q)$, définie pour tout complexe $s$ de partie réelle $>1$ par $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s}$, vérifie :

  $\zeta (s,q)\operatorname {\Gamma } (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\operatorname {e} ^{-tq}}{1-\operatorname {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t$

  où $\Gamma$ est la fonction Gamma d'Euler ;

• la fonction ${\frac {1}{\Gamma }}$ s'étend en une fonction entière.

En déduire que la fonction $s\mapsto \zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}$ s'étend en une fonction entière.

Indication : utiliser l'existence d'un développement de Taylor à tout ordre en 0 de $t\mapsto {\frac {t}{1-\operatorname {e} ^{-t}}}$.

Solution

${\frac {t}{1-\operatorname {e} ^{-t}}}=\sum _{n=0}^{N}c_{n}t^{n}+t^{N+1}f_{N}(t)\Longrightarrow \zeta (s,q)\operatorname {\Gamma } (s)=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{N}c_{n}t^{s+n-2}\operatorname {e} ^{-tq}\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{\infty }t^{s+N-1}\operatorname {e} ^{-tq}f_{N}(t)\,\mathrm {d} t$.

La fonction $t\mapsto \operatorname {e} ^{-tq}f_{N}(t)$ est continue sur $\mathbb {R} _{+}$ et à décroissance rapide, donc la seconde intégrale est holomorphe sur le demi-plan $\operatorname {Re} (s)>-N$.

La première se calcule en intégrant terme à terme, ce qui donne :

${\begin{aligned}\zeta (s,q)&=\sum _{n=0}^{N}c_{n}{\frac {\operatorname {\Gamma } (s+n-1)}{q^{s+n-1}\operatorname {\Gamma } (s)}}+{\frac {1}{\operatorname {\Gamma } (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s+N-1}\operatorname {e} ^{-tq}f_{N}(t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {c_{0}}{(s-1)q^{s-1}}}+\sum _{n=1}^{N}c_{n}{\frac {(s+n-2)(s+n-3)\dots s}{q^{s+n-1}}}+{\frac {1}{\operatorname {\Gamma } (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s+N-1}\operatorname {e} ^{-tq}f_{N}(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

donc la fonction

$s\mapsto \zeta (s,q)-{\frac {c_{0}}{(s-1)1^{s-1}}}=\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}$

s'étend en une fonction holomorphe sur $\operatorname {Re} (s)>-N$ (de façon unique, et $N$ est choisi aussi grand qu'on veut).

Remarquons de plus qu'on peut calculer la valeur de $\zeta (-k,q)$ pour tout entier $-k<0$, pôle de $\mathrm {\Gamma }$, sachant que $c_{n}={\frac {(-1)^{n}\mathrm {B} _{n}}{n!}}$ où les $\mathrm {B} _{n}$ sont les nombres de Bernoulli :

${\begin{aligned}\zeta (-k,q)&={\frac {c_{0}}{(-k-1)q^{-k-1}}}+\sum _{n=1}^{k+1}c_{n}{\frac {(-k+n-2)(-k+n-3)\dots (-k)}{q^{-k+n-1}}}\\&=\sum _{n=0}^{k+1}c_{n}{\frac {(-1)^{n-1}k!}{(k+1-n)!}}q^{k+1-n}\\&=-{\frac {1}{k+1}}\sum _{n=0}^{k+1}{\binom {k+1}{n}}\mathrm {B} _{n}q^{k+1-n}\\&=-{\frac {\mathrm {B} _{k+1}(q)}{k+1}},\end{aligned}}$

où $\mathrm {B} _{k+1}(X)$ est le $(k+1)$-ième polynôme de Bernoulli.