Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions zêta

Fonctions zêta
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Exercices no1
Leçon : Fonctions d'une variable complexe

Exercices de niveau 15.

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Exercice 1-1Modifier

Soit   un nombre complexe de partie réelle  .

On rappelle (Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-7 et Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-5) que :

  • la fonction zêta de Hurwitz  , définie pour tout complexe   de partie réelle   par  , vérifie :
     
      est la fonction Gamma d'Euler ;
  • la fonction   s'étend en une fonction entière.

En déduire que la fonction   s'étend en une fonction entière.

Indication : utiliser l'existence d'un développement de Taylor à tout ordre en 0 de  .