Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta

Séries de Fourier et fonction zêta
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Exercices no9
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Séries de Fourier et fonction zêta

Exercices de niveau 15.

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Exo suiv. :Sommaire
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Exercice 9-1

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Wikipédia possède un article à propos de « Problème de Bâle ».

Calculer :

 .

Exercice 9-2

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  1. Pour tout entier  , exprimer les deux sommes suivantes en fonction de   :
     .
  2. À l'aide de l'exercice précédent, en déduire les valeurs de
     .

Exercice 9-3

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  1. Calculer  .
  2. En déduire les valeurs de  .

Exercice 9-4

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  1. Calculer  .
  2. En déduire les valeurs de  .

Exercice 9-5

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  1. Calculer  .
  2. En déduire les valeurs de  .

Exercice 9-6

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Calculer la somme suivante :

 .

Exercice 9-7

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Wikipédia possède un article à propos de « Fonction zêta de Hurwitz ».

a) Pour tous réels   et  , on pose :

  (série convergente, par comparaison avec la série de Riemann  ).

Montrer que

 ,

  désigne la fonction Gamma.

b) En déduire la valeur de l'intégrale suivante :

 

Exercice 9-8

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  1. Pour tout  , montrer l'existence d'un polynôme   tel que  
  2. Préciser le degré, les racines de  , et la somme des racines.
  3. Montrer que  .
  4. Calculer  . Calculer de même  .

Exercice 9-9

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Wikipédia possède un article à propos de « Constante d'Apéry ».

Soient  .

Démontrer que