Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta

Séries de Fourier et fonction zêta
Image logo représentative de la faculté
Exercices no9
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Séries de Fourier et fonction zêta

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommations de séries entières
Exo suiv. :Sommaire
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Séries de Fourier et fonction zêta
Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 9-1Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Problème de Bâle ».

Calculer :

 .

Exercice 9-2Modifier

  1. Pour tout entier  , exprimer les deux sommes suivantes en fonction de   :
     .
  2. À l'aide de l'exercice précédent, en déduire les valeurs de
     .

Exercice 9-3Modifier

  1. Calculer  .
  2. En déduire les valeurs de  .

Exercice 9-4Modifier

  1. Calculer  .
  2. En déduire les valeurs de  .

Exercice 9-5Modifier

  1. Calculer  .
  2. En déduire les valeurs de  .

Exercice 9-6Modifier

Calculer la somme suivante :

 .

Exercice 9-7Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction zêta de Hurwitz ».

a) Pour tous réels   et  , on pose :

  (série convergente, par comparaison avec la série de Riemann  ).

Montrer que

 ,

  désigne la fonction Gamma.

b) En déduire la valeur de l'intégrale suivante :

 

Exercice 9-8Modifier

  1. Pour tout  , montrer l'existence d'un polynôme   tel que  
  2. Préciser le degré, les racines de  , et la somme des racines.
  3. Montrer que  .
  4. Calculer  . Calculer de même  .

Exercice 9-9Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Constante d'Apéry ».

Soient  .

Démontrer que