Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta
Exercice 9-1
modifierCalculer :
- .
Considérons la fonction 2π-périodique définie par :
- .
Calculons ses coefficients de Fourier complexes :
est impaire sur donc . Pour ,
donc
- .
a) D'après le théorème de Dirichlet, nous avons :
.
Choisissons pour la valeur ; nous obtenons :
.
Nous pouvons conclure que :
. |
Remarque. Pour tout nombre complexe tel que , où est la détermination principale du logarithme complexe.
En particulier pour , on retrouve .
b) D'après la formule de Parseval, nous avons :
donc
- .
Nous pouvons conclure que :
. |
(Pour une autre méthode, voir la solution de l'exercice 9-3.)
Exercice 9-2
modifier- Pour tout entier , exprimer les deux sommes suivantes en fonction de :
- .
- À l'aide de l'exercice précédent, en déduire les valeurs de
- .
- ;
. - ;
.
(Pour une autre méthode, voir la solution de l'exercice 9-3.)
Exercice 9-3
modifier- Calculer .
- En déduire les valeurs de .
1. Considérons la fonction 2π-périodique définie par :
- .
Calculons ses coefficients de Fourier complexes :
- donc et pour ,
donc
- .
Remarquons au passage que le théorème de Dirichlet permet de recalculer et (directement) .
Pour et , on retrouve :
- , c'est-à-dire ;
- , c'est-à-dire .
En outre, d'après la formule de Parseval,
donc
- ,
soit
. |
(Pour une autre méthode, voir la solution de l'exercice 9-5.)
2. ;
- .
(Pour une autre méthode, voir la solution de l'exercice 9-5.)
Exercice 9-4
modifier- Calculer .
- En déduire les valeurs de .
1. Considérons la fonction 2π-périodique définie par :
- .
Calculons ses coefficients de Fourier complexes :
- est impaire sur donc . Pour , sachant déjà (d'après le calcul du début de l'exercice précédent) que , on trouve :
donc
- .
D'après la formule de Parseval,
donc
- ,
soit
. |
2. ;
- .
Exercice 9-5
modifier- Calculer .
- En déduire les valeurs de .
1. Considérons la fonction 2π-périodique définie par :
- .
Calculons ses coefficients de Fourier complexes :
- donc . Pour , sachant déjà (d'après le calcul du début de l'exercice précédent) que , on trouve :
donc
- .
Remarquons au passage que le théorème de Dirichlet permet de recalculer et (directement) .
Pour et , on retrouve :
- , c'est-à-dire ;
- , c'est-à-dire .
En outre, d'après la formule de Parseval,
donc
- ,
soit
. |
2. ;
- .
Exercice 9-6
modifierCalculer la somme suivante :
- .
Nous reconnaissons au dénominateur, le développement de (k+2)4. Nous avons donc :
Nous ferons donc un glissement de deux unités de manière à avoir k4 au dénominateur.
Exercice 9-7
modifiera) Pour tous réels et , on pose :
- (série convergente, par comparaison avec la série de Riemann ).
Montrer que
- ,
où désigne la fonction Gamma.
b) En déduire la valeur de l'intégrale suivante :
a)
Posons, dans chaque intégrale (pour fixé) :
et donc :
Or
- .
On a donc bien :
- .
Remarque : par unicité du prolongement analytique, cette formule s'étend aux nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à et de partie réelle strictement positive.
b) En posant et dans la formule établie précédemment, on obtient :
.
Sachant que ζ(2) = π2/6 et , on obtient :
.
Exercice 9-8
modifier- Pour tout , montrer l'existence d'un polynôme tel que
- Préciser le degré, les racines de , et la somme des racines.
- Montrer que .
- Calculer . Calculer de même .
- La formule de Moivre donne :
- avec
- .
- est de degré n, de racines ( ). La somme des racines est .
- et . Grâce au théorème des accroissements finis, on en déduit : , d'où l'encadrement demandé.
- D'après les deux questions précédentes,
, ce qui se simplifie en
d'où, d'après le théorème des gendarmes :
.
De même, est la somme des carrés des racines de donc est égal à
et l'on en déduit :
, puis
.
Exercice 9-9
modifierSoient .
Démontrer que
.
Référence : Tim Jameson, « Some double series related to ζ(3) », Math. Gazette, vol. 98, no 542, 2014, p. 327-331 [texte intégral lien DOI]