Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité

Soient $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ et $f:\left]a,b\right[\to \mathbb {R}$ une application continue.

On suppose que $f$ admet des limites (finies ou infinies) en $a$ et $b$ :

$l:=\lim _{a}f\quad {\text{et}}\quad L:=\lim _{b}f$.

Exercice 1

Montrer que $f$ atteint toutes les valeurs strictement comprises entre $l$ et $L$.

Solution

Soit $y$ strictement compris entre entre $l$ et $L$. On peut supposer par exemple $l<y<L$ (sinon, considérer $-f$). Il existe alors deux réels $A$ et $B$ tels que

$a<A\leq B<b\quad {\text{et}}\quad \forall x\in \left]a,A\right]\quad f(x)\leq y\quad {\text{et}}\quad \forall x\in \left[B,b\right[\quad f(x)\geq y$.

En particulier, $f(A)\leq y\leq f(B)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $\exists x\in \left[A,B\right]\quad y=f(x)$.

 

Exercice 2

Montrer que si $l$ et $L$ sont finies, alors $f$ est bornée.

Solution

Soit un réel $M_{1}>\max(|l|,|L|)$. Il existe alors deux réels $A$ et $B$ tels que

$a<A\leq B<b\quad {\text{et}}\quad \forall x\in \left]a,A\right[\cup \left]B,b\right[\quad |f(x)|<M_{1}$.

Posons $M_{2}=\sup |f|\left(\left[A,B\right]\right)$ (fini, d'après le théorème des bornes).

$\forall x\in \left]a,b\right[\quad |f(x)|\leq \max(M_{1},M_{2})$.

 

Exercice 3

On suppose que $l=L$ (finie ou infinie).

1) Montrer que si $f$ prend au moins une valeur strictement inférieure à cette limite (par exemple si $L=+\infty$), alors $f$ admet un minimum.

Conseil : Rien ne vaut un bon schéma. Il faut alors utiliser la définition de la limite et…

2) En déduire que (sans cette dernière hypothèse) $f$ admet un extremum.

Solution

1) Soit $c\in \left]a,b\right[$ tel que $f(c)<L$. Il existe alors deux réels $A$ et $B$ tels que

$\forall x\in \left]a,A\right[\cup \left]B,b\right[\quad f(x)>f(c)$, ce qui implique $A\leq c\leq B$.

D'après le théorème des bornes, la restriction de $f$ à $\left[A,B\right]$ atteint son minimum en un certain point $d$, en particulier : $f(d)\leq f(c)$.

$\forall x\in \left]a,b\right[\quad f(x)\geq f(d)$.

2) Si $f$ est constante, le résultat est immédiat.

Supposons maintenant que $f$ prend au contraire, en au moins un point $c\in \left]a,b\right[$, une valeur différente de $L$.

Si $f(c)<L$ alors $f$ a un minimum d'après la question précédente. Si $f(c)>L$ alors $f$ a un maximum, d'après la question précédente appliquée à $-f$.

 

Pour une généralisation des exercices 2 et 3, voir Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue (niveau 15).

Exercice 4

On pose :

$\arctan(-\infty )=-\pi /2,~\arctan(+\infty )=\pi /2,~a'=\arctan(a),~b'=\arctan(b)$.

1) Redémontrer le résultat de l'exercice 2 en prolongeant par continuité la fonction $f\circ \tan :\left]a',b'\right[\to \mathbb {R}$.

2) Redémontrer le résultat de l'exercice 1 en prolongeant par continuité la fonction $\arctan \circ f\circ \tan :\left]a',b'\right[\to \mathbb {R}$.

3) Redémontrer les résultats de l'exercice 3 à l'aide du même prolongement de $\arctan \circ f\circ \tan$.

Solution

1) Si $l$ et $L$ sont finies, $f\circ \tan$ s'étend en une fonction continue $g:\left[a',b'\right]\to \mathbb {R}$ en posant $g(a')=l$ et $g(b')=L$. D'après le théorème des bornes, $g$ est bornée, donc l'ensemble $f\left(\left]a,b\right[\right)=g\left(\left]a',b'\right[\right)$ est borné.

2) Même si $l$ ou $L$ est infinie, $\arctan \circ f\circ \tan$ s'étend en une fonction $h$ continue sur $\left[a',b'\right]$ et si $y$ est strictement compris entre $l$ et $L$ alors $\arctan y$ est strictement compris entre $\arctan l=h(a')$ et $\arctan L=h(b')$. On peut donc lui appliquer le théorème des valeurs intermédiaires usuel :

$\exists c'\in \left]a',b'\right[\quad \arctan y=h(c')$

d'où, en posant $c=\tan(c')$ :

$c\in \left]a,b\right[{\text{ et }}y=f(c)$.

3) La fonction $h$ atteint ses bornes et, puisqu'on suppose ici $l=L$, vérifie : $h(a')=h(b')$. Si de plus $\inf f<l=L$, c'est-à-dire $\min h<h(a')=h(b')$, alors $h$ atteint son minimum en un point $c'\in \left]a',b'\right[$, et $f$ atteint son minimum en $c:=\tan c'$. De même, si $\sup f>l=L$ alors $h$ atteint son maximum en un point $c'\in \left]a',b'\right[$, et $f$ atteint son maximum en $c:=\tan c'$. Dans le cas restant, $h$ est constante donc $f$ aussi.

 

Exercice 5

Sur $\left]0,+\infty \right[$, soit $f$ une fonction croissante telle que $g:x\mapsto f(x)/x$ soit décroissante.

1. Montrer que $f$ est continue.
2. Montrer que si $f$ n'est pas identiquement nulle alors elle est strictement positive.
3. Donner un exemple de telle fonction.

Solution

1. Si $0<x<y$, on a $f(x)\leq f(y)$ et $f(x)/x\geq f(y)/y$ donc $f(x)\leq f(y)\leq f(x)y/x$ donc quand $y\to x^{+}$, $f(y)\to f(x)$. De même, si $0<y<x$, on a $f(y)\leq f(x)$ et $f(y)/y\geq f(x)/x$ donc $f(x)y/x\leq f(y)\leq f(x)$ donc quand $y\to x^{+}$, $f(y)\to f(x)$.
2. Remarquons d'abord que pour tout $x>0$, $f(x)\geq 0$ car $\forall y\in \left]0,x\right[\quad f(x)y/x\leq f(x)$ et $\lim _{y\to 0^{+}}f(x)y/x=0$.
   Reste à prouver que si $f$ s'annule en un point $x$ alors elle est identiquement nulle : $\forall y\in \left]0,x\right[\quad 0\leq f(y)\leq f(x)=0$ donc $f(y)=0$ et $\forall y\in \left]x,+\infty \right[\quad 0\leq f(y)\leq f(x)y/x=0$ donc $f(y)=0$.
3. On peut choisir par exemple $f$ ou $g$ constante (donc croissante et décroissante, au sens large), c'est-à-dire $f(x)=c$ ou $f(x)=cx$, avec $c>0$. Un exemple un peu moins trivial s'en inspire (avec $f$ et $g$ monotones au sens strict) : $f(x)=ax+b$ avec $a,b>0$.

 

Exercice 6

Montrer que $\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=+\infty$ équivaut à : $\forall a\in \mathbb {R} \quad \lim _{x\to +\infty }f(x)-ax=+\infty$.

Solution

• $\Rightarrow$. Supposons que $\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=+\infty$, et soient $a,b\in \mathbb {R}$. Posons $M=a+\max(b,0)$. Il existe un réel $A\geq 1$ tel que pour tout $x>A$, ${\frac {f(x)}{x}}>M$, ce qui implique $f(x)-ax>\max(b,0)x\geq b\times 1$. Par conséquent, $\lim _{x\to +\infty }f(x)-ax=+\infty$.
• $\Leftarrow$. Supposons que $\forall a\in \mathbb {R} \quad \lim _{x\to +\infty }f(x)-ax=+\infty$, et soit $M\in \mathbb {R}$. Il existe un réel $A\geq 0$ tel que pour tout $x>A$, $f(x)-Mx>0$, ce qui implique ${\frac {f(x)}{x}}>M$. Par conséquent, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=+\infty$.

 

Référence et liens externes

• Les exercices 1, 2 et 3 sont partiellement inspirés de l'exercice 12.6 p. 327 de Sylvain Gugger, Maths PTSI, Dunod, coll. « J'assure aux concours », 2016 et de son corrigé p. 335-336, ainsi que de la page 324.
• « 123 Continuité, limite et étude de fonctions », sur exo7 (sélectionner d'abord L1 Analyse)
• « Continuité », sur bibmath.net