Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalité des accroissements finis généralisée

Exercice 1

Soient f et g : [a, b] → ℝ (a < b), continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[, avec g' de signe constant.

1. Démontrer que si f' ≥ 0 (resp. = 0), alors f(b) – f(a) ≥ 0 (resp. = 0) ;
2. Démontrer que si g(b) = g(a) alors g' = 0 ;
3. Soit J un intervalle réel tel que, pour tout x de ]a, b[, f'(x) ∈ g'(x)J. Démontrer que f(b) – f(a) ∈ (g(b) – g(a))J.

   Indication : On se ramènera d'abord au cas où g' est positive ou nulle mais non constamment nulle, et aux sous-cas où J est de la forme [α, +∞[ ou ]α, +∞[.

Solution

1. Conséquence immédiate du théorème des accroissements finis.

2. g est monotone donc si g(b) = g(a) alors elle est constante.

3 . Si g' = 0 alors f' = 0 par hypothèse sur J, donc f(b) – f(a) et g(b) – g(a) sont nuls d'après la question 1, et la conclusion s'ensuit.

Le cas g' ≤ 0 et g' ≠ 0 se ramène au cas g' ≥ 0 et g' ≠ 0 en remplaçant g et J par leurs opposés.

On peut donc désormais supposer g' ≥ 0 et g' ≠ 0. Alors, g(b) – g(a) est strictement positif (car il est positif d'après la question 1 et non nul d'après la question 2).

Démontrons le résultat dans les deux cas où l'intervalle J est de la forme [α, +∞[ ou ]α, +∞[ (les cas ]–∞, α] et ]–∞, α[ sont analogues et le cas d'un intervalle borné s'en déduit par intersection).

• Si J = [α, +∞[ alors, par hypothèse, f'(x) appartient à [α g'(x), +∞[ (si g'(x) > 0) ou à {0} (si g'(x) = 0). Dans les deux cas, f'(x) – α g'(x) ≥ 0 donc d'après la question 1, f(b) – f(a) – α(g(b) – g(a)) ≥ 0, autrement dit : f(b) – f(a) ∈ [α(g(b) – g(a)), +∞[ = (g(b) – g(a))J.
• Si J = ]α, +∞[ alors, de plus, pour x tel que g'(x) > 0 (et l'on a supposé qu'il existe de tels x), on a f'(x) > α g'(x) donc d'après la question 2, f(b) – f(a) – α(g(b) – g(a)) > 0, et l'on conclut de même.

 

Exercice 2

Soit f : [a, b] → ℝ (a < b), continue sur [a, b] et dérivable sur le complémentaire C d'une partie dénombrable D. Démontrer que si tous les f'(x) (pour x ∈ C) sont :

1. > 0, alors f(b) ≥ f(a).

   Indication : soit un réel d ≤ f(a) n'appartenant pas à f(D), noter c le plus grand élément du fermé F = {x ∈ [a, b] | f(x) ≥ d} et montrer que c = b ;

2. > k (pour un certain réel k), alors (f(b) – f(a))/(b – a) ≥ k ;
3. ≥ 0, alors f(b) ≥ f(a) ;
4. ≥ 0, alors f est croissante ;
5. nuls, alors f(b) = f(a) ;
6. ≥ 0 mais non tous nuls, alors f(b) > f(a).
7. Soit g : [a, b] → ℝ continue sur [a, b], dérivable sur C, et telle que tous les g'(x) (pour x ∈ C) sont de même signe, et soit J un intervalle réel tel que pour tout x ∈ C, f'(x) ∈ g'(x)J. Démontrer que f(b) – f(a) ∈ (g(b) – g(a))J.

Solution

1. Par définition de c, on a f(c) ≥ d et pour tout x dans l'intervalle ]c, b], f(x) < d.
   Si cet intervalle était non vide alors, par continuité de f, f(c) serait égal à d donc c n'appartiendrait pas à D. Il appartiendrait donc à C et (par stricte positivité de f'(c)), il possèderait un voisinage à droite inclus dans F, ce qui contredirait sa maximalité. Par conséquent c = b, donc f(b) ≥ d.
   Puisque f(D) est au plus dénombrable, les réels d auxquels ce raisonnement s'applique peuvent être choisis arbitrairement proches de f(a). Puisqu'ils vérifient tous f(b) ≥ d, ceci prouve que f(b) ≥ f(a).
2. Appliquer le point précédent à la fonction x ↦ f(x) – kx.
3. Si tous les f'(x) sont ≥ 0 alors, pour tout k < 0, les f'(x) sont > k donc (f(b) – f(a))/(b – a) ≥ k d'après la question précédente, donc (f(b) – f(a))/(b – a) ≥ 0.
4. Transposer la question précédente aux sous-intervalles de [a, b].
5. Appliquer la question 3 à f et à –f.
6. Si les f'(x) sont ≥ 0 mais non tous nuls, alors f est croissante d'après la question 4, mais non constante.
7. Se déduit des questions 5, 6 et 3, par le même raisonnement que dans dernière question de l'exercice 1.

 

Références

• Andreas Kriegl et Peter W. Michor, The Convenient Setting of Global Analysis, AMS, 1997, p. 10
• Stephen D. Casey et Richard Holzsager, « On Positive Derivatives and Monotonicity », Missouri J. Math. Sci., vol. 17, n^o 3,‎ 2005, p. 161-173