Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)


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Les trinômesModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Représentation graphique d'une fonction trinômeModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


  Voir les exercices sur : Un trinôme issu d'une situation géométrique.



Racines d'un trinômeModifier


Début d’un théorème
Fin du théorème


On a donc six possibilités :
Si   Si   Si  
Si a > 0 Deux racines réelles   Une racine double   Pas de racine réelle  
Si a < 0 Deux racines réelles  Une racine double   Pas de racine réelle  
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Variations d'une fonction trinômeModifier

Théorème : Le tableau de variations dépend du signe de a
Si a est positif
x
     
f
   
   
 
Si a est négatif
x
     
f
 
   
   
Remarques
  • L'abscisse de l'extremum   correspond à la moyenne des deux racines quand elle existent, la parabole est symétrique.
  • La valeur de l'extremum   n'a pas à être apprise par cœur : elle se retrouve facilement dans les exemples.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Signe d'un trinômeModifier

En combinant la connaissance des racines et celle du tableau de variations, on obtient le tableau de signe d'un trinôme. Il y a six possibilités.

Théorème :

Si  
Si a est positif
x
     
f
     
Si a est négatif
x
     
f
     
Si  
Si a est positif
x
       
f
         
Si a est négatif
x
       
f
         
Si  
Si a est positif
x
   
f
 
Si a est négatif
x
   
f
 
Début de l'exemple
Fin de l'exemple




Somme et produit des racinesModifier

Quand un trinôme possède deux racines  , on vérifie facilement les deux formules suivantes, qui peuvent être utiles pour calculer une racine quand on connait déjà l'autre, ou bien quand on connait le produit et la somme des racines, mais pas les racines elles-mêmes.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Factorisation d'un trinômeModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


LiensModifier