Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)
Les trinômes
modifieroù a, b et c sont des coefficients et où a est non nul.
- l'est avec : a=2, b=3 et c=1
- l'est avec : a=1, b=-2 et c=2
- ne l'est pas (pas de coefficient en )
- ne l'est pas (présence d'un coefficient en )
- l'est avec : a=1, b=0 et c=3
- l'est avec : a=3, b=-1 et c=0
Représentation graphique d'une fonction trinôme
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Faites ces exercices : Un trinôme issu d'une situation géométrique. |
Racines d'un trinôme
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- Si alors le trinôme a deux racines réelles distinctes :
.
- Si alors le trinôme a une racine réelle double :
. - Si alors le trinôme n'a pas de racine réelle (mais il possède deux racines complexes conjuguées) :
.
Si | Si | Si | |
---|---|---|---|
Si a > 0 | Deux racines réelles | Une racine double | Pas de racine réelle |
Si a < 0 | Deux racines réelles | Une racine double | Pas de racine réelle |
il y a donc 2 racines réelles
Il y a donc pas de racine réelle.
il y a donc 2 racines réelles
il y a donc 2 racines réelles
Variations d'une fonction trinôme
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- Remarques :
- L'abscisse de l'extremum correspond à la moyenne des deux racines quand elles existent, la parabole est symétrique.
- La valeur de l'extremum n'a pas à être apprise par cœur : elle se retrouve facilement dans les exemples.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Dresser le tableau de variations de l'application .
Signe d'un trinôme
modifierEn combinant la connaissance des racines et celle du tableau de variations, on obtient le tableau de signe d'un trinôme. Il y a six possibilités.
Théorème :
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Faites ces exercices : Situation économique conduisant à une étude de signe. |
Somme et produit des racines
modifierQuand un trinôme possède deux racines , on vérifie facilement les deux formules suivantes, qui peuvent être utiles pour calculer une racine quand on connait déjà l'autre, ou bien quand on connait le produit et la somme des racines, mais pas les racines elles-mêmes.
Factorisation d'un trinôme
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Liens
modifier- Équation du second degré sur Wikipédia, on y trouve les démonstrations des théorèmes de ce cours. Un peu difficile néanmoins.
- Fonction du second degré sur Wikipédia, plus élémentaire que le précédent. Une illustration graphique intéressante
Référents
Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours :
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