Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)

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Analyse

Cours :
Première spécialité Mathématiques (France)

 

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Les trinômes

Définition

Une fonction polynôme du second degré, ou trinôme, est donnée par une formule du type :

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

où a, b et c sont des coefficients et où a est non nul.

Début de l'exemple

Être ou ne pas être une fonction trinôme

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles peuvent être classées dans l’ensemble des fonctions polynômes du second degré ? Préciser leurs coefficients.

• $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
• $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
• $f_{3}(x)=2x+1$
• $f_{4}(x)=-x^{3}+2x-5$
• $f_{5}(x)=x^{2}+3$
• $f_{6}(x)=3x^{2}-x$

Solution

• $f_{1}$ l'est avec : a=2, b=3 et c=1
• $f_{2}$ l'est avec : a=1, b=-2 et c=2
• $f_{3}$ ne l'est pas (pas de coefficient en $x^{2}$)
• $f_{4}$ ne l'est pas (présence d'un coefficient en $x^{3}$)
• $f_{5}$ l'est avec : a=1, b=0 et c=3
• $f_{6}$ l'est avec : a=3, b=-1 et c=0

 

Fin de l'exemple

Représentation graphique d'une fonction trinôme

Début d’un théorème

Théorème

La représentation graphique d'une fonction trinôme est toujours une parabole.

Le sommet est en bas si a est positif.

Le sommet est en haut si a est négatif.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

Tracer dans un même repère orthonormé les paraboles représentatives des fonctions suivantes.

• $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
• $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
• $f_{3}(x)=-x^{2}+3$
• $f_{4}(x)=-3x^{2}-x$

Solution

 

Fin de l'exemple

Faites ces exercices : Un trinôme issu d'une situation géométrique.

Racines d'un trinôme

Définition

Les racines d'une fonction trinôme f sont les solutions de l'équation f(x) = 0.

Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l’axe horizontal des abscisses.

Début d’un théorème

Théorème

Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : $\Delta =b^{2}-4ac$.

• Si $\Delta >0$ alors le trinôme a deux racines réelles distinctes :
  

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$
$x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$.

• Si $\Delta =0$ alors le trinôme a une racine réelle double :
  $x_{0}={\frac {-b}{2a}}$.
• Si $\Delta <0$ alors le trinôme n'a pas de racine réelle (mais il possède deux racines complexes conjuguées) :
  

$z_{1}={\frac {-b+i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}$
$z_{2}={\frac {-b-i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}$.

Fin du théorème

On a donc six possibilités :

	Si $\Delta >0$	Si $\Delta =0$	Si $\Delta <0$
Si a > 0	Deux racines réelles	Une racine double	Pas de racine réelle
Si a < 0	Deux racines réelles	Une racine double	Pas de racine réelle

Début de l'exemple

Trouver les racines d'un trinôme

Calculer d’abord le discriminant puis les racines des trinômes suivants. Vérifier la cohérence des résultats avec les courbes tracées plus haut.

• $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
• $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
• $f_{3}(x)=-x^{2}+3$
• $f_{4}(x)=-3x^{2}-x$

Solution de $f_{1}$

$\Delta =b^{2}-4ac$

$\Delta =3^{2}-4\times 2\times 1=9-8=1$

$\Delta =1>0$

il y a donc 2 racines réelles $x_{1}etx_{2}$

${\begin{cases}x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x_{1}={\frac {-3+{\sqrt {1}}}{2\times 2}}\\x_{2}={\frac {-3-{\sqrt {1}}}{2\times 2}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x_{1}={\frac {-2}{4}}\\x_{2}={\frac {-4}{4}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{2}}\\x_{2}=-1\end{cases}}$

 

Solution de $f_{2}$

$\Delta =b^{2}-4ac$

$\Delta =(-2)^{2}-4\times 1\times 2=4-8=-4$

$\Delta =-4<0$

Il y a donc pas de racine réelle.

 

Solution de $f_{3}$

$\Delta =b^{2}-4ac$

$\Delta =0^{2}-4\times (-1)\times 3=12$

$\Delta =12>0$

il y a donc 2 racines réelles $x_{1}etx_{2}$

${\begin{cases}x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x_{1}={\frac {-(0)+{\sqrt {12}}}{2\times (-1)}}\\x_{2}={\frac {-(0)-{\sqrt {12}}}{2\times (-1)}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x_{1}={\frac {2{\sqrt {3}}}{-2}}\\x_{2}={\frac {-2{\sqrt {3}}}{-2}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x_{1}=-{\sqrt {3}}\\x_{2}={\sqrt {3}}\end{cases}}$

 

Solution de $f_{4}$

$\Delta =b^{2}-4ac$

$\Delta =(-1)^{2}-4\times (-3)\times 0=1$

$\Delta =1>0$

il y a donc 2 racines réelles $x_{1}etx_{2}$

${\begin{cases}x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x_{1}={\frac {-(-1)+{\sqrt {1}}}{2\times (-3)}}\\x_{2}={\frac {-(-1)-{\sqrt {1}}}{2\times (-3)}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x_{1}={\frac {2}{-6}}\\x_{2}={\frac {0}{-6}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{3}}\\x_{2}=0\end{cases}}$

 

Fin de l'exemple

Variations d'une fonction trinôme

Théorème : Le tableau de variations dépend du signe de a

Si a est positif x $-\infty$ $-{\frac {b}{2a}}$ $+\infty$ f $+\infty$ $+\infty$ $\searrow$ $\nearrow$ ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$

Si a est négatif x $-\infty$ $-{\frac {b}{2a}}$ $+\infty$ f ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ $\nearrow$ $\searrow$ $-\infty$ $-\infty$

Remarques :

• L'abscisse de l'extremum $-{\frac {b}{2a}}$ correspond à la moyenne des deux racines quand elles existent, la parabole est symétrique.
• La valeur de l'extremum ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ n'a pas à être apprise par cœur : elle se retrouve facilement dans les exemples.

Début de l'exemple

Construire le tableau de variations d'une fonction trinôme

Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.

• $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
• $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
• $f_{3}(x)=-x^{2}+3$
• $f_{4}(x)=-3x^{2}-x$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Dresser le tableau de variations de l'application $p:x\mapsto x^{2}+3x+1$.

Solution

$\forall x\in \mathbb {R} \quad p'(x)=2x+3$.

Tableau des variations de $p$.

 

Fin de l'exemple

Signe d'un trinôme

En combinant la connaissance des racines et celle du tableau de variations, on obtient le tableau de signe d'un trinôme. Il y a six possibilités.

Théorème :

Si $\triangle =0$

Si a est positif x $-\infty$ ${\frac {-b}{2a}}$ $+\infty$ f $+$ $0$ $+$

Si a est négatif x $-\infty$ ${\frac {-b}{2a}}$ $+\infty$ f $-$ $0$ $-$

Si $\triangle >0$

Si a est positif x $-\infty$ ${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ $+\infty$ f $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

Si a est négatif x $-\infty$ ${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ $+\infty$ f $-$ $0$ $+$ $0$ $-$

Si $\triangle <0$

Si a est positif x $-\infty$ $+\infty$ f $+$

Si a est négatif x $-\infty$ $+\infty$ f $-$

Début de l'exemple

Construire le tableau de signe d'une fonction trinôme

Voir Équations et fonctions du second degré/Inéquations du second degré#Application.

Fin de l'exemple

Faites ces exercices : Situation économique conduisant à une étude de signe.

Somme et produit des racines

Quand un trinôme possède deux racines $x_{1}\ et\ x_{2}$, on vérifie facilement les deux formules suivantes, qui peuvent être utiles pour calculer une racine quand on connait déjà l'autre, ou bien quand on connait le produit et la somme des racines, mais pas les racines elles-mêmes.

Début d’un théorème

Théorème

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

Fin du théorème

Factorisation d'un trinôme

Début d’un théorème

Théorème

Quand un trinôme possède deux racines $x_{1}\ et\ x_{2}$, on peut le factoriser de la manière suivante :

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Factoriser un trinôme

Factoriser, lorsque c’est possible, les trinômes suivants.

• $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
• $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
• $f_{3}(x)=-x^{2}+3$
• $f_{4}(x)=-3x^{2}-x$

Solution de $f_{1}$

$2(x+{\frac {1}{2}})(x+1)$

Solution de $f_{2}$

Δ < 0. Il n'y a donc pas de racines réelles, donc pas de factorisation réelle possible.

Solution de $f_{3}$

$-(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$

Solution de $f_{4}$

x(-3x-1)

Fin de l'exemple

Liens

• Équation du second degré sur Wikipédia, on y trouve les démonstrations des théorèmes de ce cours. Un peu difficile néanmoins.
• Fonction du second degré sur Wikipédia, plus élémentaire que le précédent. Une illustration graphique intéressante

Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours :

• Loïc Fabiou (discuter)

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