Fractions rationnelles/Corps des fractions rationnelles

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Soit $K$ un corps commutatif (par exemple $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$). L'anneau $K[X]$ des polynômes sur $K$ est commutatif et intègre.

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Définitions

Définition : fraction rationnelle

Le corps des fractions rationnelles sur $K$, noté $K(X)$, est le corps des fractions de l'anneau $K[X]$.

Toute fraction rationnelle s'écrit donc sous la forme ${\frac {P}{Q}}$, où $P$ et $Q$ sont deux polynômes de $K[X]$ avec $Q\neq 0$.

Son degré est alors $\deg P-\deg Q$.

Définition : écriture irréductible d'une fraction rationnelle

L'écriture ${\frac {P}{Q}}$ d'une fraction rationnelle est dite irréductible si $\operatorname {pgcd} (P,Q)=1$, c'est-à-dire si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux.

Une telle écriture existe et les autres écritures de la même fraction seront de la forme ${\frac {SP}{SQ}}$ (avec $S$ polynôme non nul), ce qui légitime la définition, donnée ci-dessus, du degré de la fraction.

Exemple : soit $F={\frac {X^{4}-16}{X^{2}-3X+2}}$. Après simplification par $X-2$, $F={\frac {X^{3}+2X^{2}+4X+8}{X-1}}$.

Définition : pôles et zéros d'une fraction rationnelle

Soit ${\frac {P}{Q}}$ une écriture irréductible d'une fraction rationnelle $F$.

• On dit que $\alpha$ est un zéro d’ordre $n$ de $F$ si

  $\alpha$ est une racine d’ordre $n$ de $P$.

• On dit que $z$ est un pôle d’ordre $p$ de $F$ si

  $z$ est une racine d’ordre $p$ de $Q$.

Exemple : reprenons la fraction $F$ de l'exemple précédent. On a $F={\frac {(X-2\mathrm {i} )(X+2\mathrm {i} )(X+2)}{X-1}}$ donc 1 est l'unique pôle (d'ordre 1) de $F$ et $\{-2,\pm 2\mathrm {i} \}$ sont les zéros (d'ordre 1) de $F$.

Début d’un théorème

Théorème et définition : partie entière et partie fractionnaire d'une fraction rationnelle

Soit ${\frac {P}{Q}}\in K(X)$.

Il existe un unique couple de polynômes $(E;R)$ tels que ${\frac {P}{Q}}=E+{\frac {R}{Q}}\mathrm {\;et\;} \deg R<\deg Q$.

$E$ est appelée la partie entière de ${\frac {P}{Q}}$ et ${\frac {R}{Q}}$ sa partie fractionnaire.

Fin du théorème

Pour le prouver, on s'appuie sur le théorème de division euclidienne dans $K[X]$.

• En algèbre, la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle est son expression sous une somme de fractions dont chacune a pour dénominateur une puissance d'un polynôme irréductible et pour numérateur un polynôme de degré strictement inférieur au degré de ce polynôme irréductible.
• De même qu'on différencie un polynôme de la fonction polynomiale associée, il faut, plus généralement, différencier chaque fraction rationnelle de la fonction rationnelle' associée. Si cette identification ne pose pas de problème lorsque le corps de base est $K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} \mathrm {\;ou\;} \mathbb {C}$, elle n'est plus légitime sur les corps finis : prendre par exemple $F={\frac {1}{X^{2}+X}}$ sur le corps $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.