Initiation aux matrices/Exercices/Inverse d'une matrice

Exercice 2-1

Soit $M$, la matrice définie par :

$M={\begin{pmatrix}1&-1&2\\-1&2&-1\\-1&1&-1\end{pmatrix}}$

Calculer la matrice inverse $M^{-1}$ de $M$.

Solution

Supposons qu'il existe trois valeurs $y_{1}$, $y_{2}$ et $y_{3}$ qui s'expriment en fonction de trois autres valeurs $x_{1}$, $x_{2}$ et $x_{3}$ selon la relation matricielle :

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&2\\-1&2&-1\\-1&1&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

Essayons alors d'exprimer $x_{1}$, $x_{2}$ et $x_{3}$ en fonction de $y_{1}$, $y_{2}$ et $y_{3}$. Pour cela, nous considérerons le système associé :

$\left\{{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}+2x_{3}=y_{1}\\-x_{1}+2x_{2}-x_{3}=y_{2}\\-x_{1}+x_{2}-x_{3}=y_{3}\end{array}}\right.$

En ajoutant membre à membre la troisième équation à la première et en la soustrayant de la seconde, on obtient :

$\left\{{\begin{array}{l}x_{3}=y_{1}+y_{3}\\x_{2}=y_{2}-y_{3}\\-x_{1}+x_{2}-x_{3}=y_{3}\end{array}}\right.$

En reportant les valeurs de $x_{2}$ et $x_{3}$, trouvées dans les deux premières équations dans la troisième, on obtient :

$\left\{{\begin{array}{l}x_{1}=-y_{1}+y_{2}-3y_{3}\\x_{2}=y_{2}-y_{3}\\x_{3}=y_{1}+y_{3}\end{array}}\right.$

qui s'écrit matriciellement :

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&1&-3\\0&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

On a donc :

$M^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1&-3\\0&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}}$

 

Exercice 2-2

Soit $M$, la matrice définie par :

$M={\begin{pmatrix}-4&-2&7\\-4&-3&8\\-3&-2&6\end{pmatrix}}$

1°  Calculer l'expression matricielle :

$M^{3}+M^{2}-M$

2°  En déduire l'inverse $M^{-1}$ de $M$.

Solution

1°  On trouve :

$M^{2}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\4&1&-4\\2&0&-1\end{pmatrix}}$

et

$M^{3}=M^{2}\times M={\begin{pmatrix}3&0&-2\\4&1&-4\\2&0&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4&-2&7\\-4&-3&8\\-3&-2&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6&-2&9\\-8&-3&12\\-5&-2&8\end{pmatrix}}$

On peut alors calculer :

$M^{3}+M^{2}-M={\begin{pmatrix}-6&-2&9\\-8&-3&12\\-5&-2&8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3&0&-2\\4&1&-4\\2&0&-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-4&-2&7\\-4&-3&8\\-3&-2&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

2°  Nous avons obtenu précédemment :

$M^{3}+M^{2}-M=I_{3}$

En mettant $M$ en facteur, nous avons :

$M\times \left(M^{2}+M-I_{3}\right)=I_{3}$

Ce qui nous montre que :

$M^{-1}=M^{2}+M-I_{3}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\4&1&-4\\2&0&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-4&-2&7\\-4&-3&8\\-3&-2&6\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&-2&5\\0&-3&4\\-1&-2&4\end{pmatrix}}$

 

Exercice 2-3

Un réseau d'utilisateurs qui communiquent à distance utilise à cet effet un émetteur-récepteur utilisant un système de cryptage basé sur une matrice $M$ pouvant être rentrée manuellement dans l'appareil.

Tous les utilisateurs conviennent de rentrer la matrice $M$ définie par :

$M={\begin{pmatrix}-9&2&-4&2&-10\\-4&1&0&2&-2\\-10&2&-3&2&-10\\-6&2&-4&1&-8\\10&-2&4&-2&11\end{pmatrix}}$

Seuls les membres du réseau connaissent la matrice $M$.

Les utilisateurs s'envoient mutuellement des séries de cinq nombres sous forme de matrices ligne.

En émission, l'appareil commence par multiplier, par la matrice $M$, la matrice ligne fournie par l'opérateur et émet le résultat.

En réception, il fait de même. Il commence par multiplier par $M$ la matrice reçue, avant de fournir le résultat à l'opérateur.

Bob et Alice font partie du réseau. Bob décide d'envoyer la série de cinq nombres ${\begin{pmatrix}1&3&-2&5&7\end{pmatrix}}$ à Alice. La communication est espionnée par Ève qui ne fait pas partie du réseau.

1°  Que perçoit Ève ?

2°  Que reçoit Alice ?

3°  Que constate-t-on ? Cette constatation est-elle générale ?

4°  Quel est l'inverse de la matrice $M$ ?

5°  Pour plus de sûreté, les membres du réseau décident de changer régulièrement la matrice $M$. Est-il facile de trouver d'autres matrices carrées d'ordre 5 ayant la même propriété que la matrice $M$ ?

Solution

1°  Ève perçoit :

${\begin{pmatrix}1&3&-2&5&7\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-9&2&-4&2&-10\\-4&1&0&2&-2\\-10&2&-3&2&-10\\-6&2&-4&1&-8\\10&-2&4&-2&11\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}39&-3&10&-5&41\end{pmatrix}}$

2°  Alice reçoit :

${\begin{pmatrix}39&-3&10&-5&41\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-9&2&-4&2&-10\\-4&1&0&2&-2\\-10&2&-3&2&-10\\-6&2&-4&1&-8\\10&-2&4&-2&11\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&-2&5&7\end{pmatrix}}$

3°  On constate qu'Alice a bien reçu ce que Bob lui a envoyé alors que Ève a vu passer autre chose qu'elle ne peut pas décrypter étant donné qu'elle ne connait pas la matrice $M$.

Pour s'assurer qu'Alice recevra bien ce que lui transmet Bob dans tous les cas, faisons le calcul en supposant que Bob lui envoie la série de cinq nombres ${\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}$.

Ève percevra :

${\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\times M$

et Alice recevra :

${\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\times M\times M$.

Mais on constate que :

$M\times M=\mathrm {I} _{5}$

et Alice recevra :

${\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\times \mathrm {I} _{5}={\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}$.

(On dira que l'application ${\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\times M$ est une involution)

4°  On a vu à la question précédente que :

$M\times M=\mathrm {I} _{5}$.

On sait que, par définition, la matrice $M$ est inversible, d'inverse $N$, si et seulement si :

$M\times N=N\times M=\mathrm {I} _{5}$.

On en déduit que $M$ est inversible et égale à son inverse.

5°  Soit $P$ une matrice d'ordre 5 inversible d'inverse noté $P^{-1}$.

Définissons une nouvelle matrice $M'$ par la relation :

$M'=P\times M\times P^{-1}$

Nous avons alors :

${\begin{aligned}M'\times M'&=P\times M\times P^{-1}\times P\times M\times P^{-1}\\&=P\times M\times I_{5}\times M\times P^{-1}\\&=P\times M\times M\times P^{-1}\\&=P\times I_{5}\times P^{-1}\\&=P\times P^{-1}\\&=I_{5}\\\end{aligned}}$

$M'$ est aussi égale à son inverse, donc pourra remplacer $M$.

On pourrait aussi partir de matrices de la forme :

${\begin{pmatrix}\pm 1&0&0&0&0\\0&\pm 1&0&0&0\\0&0&\pm 1&0&0\\0&0&0&\pm 1&0\\0&0&0&0&\pm 1\end{pmatrix}}$

qui sont visiblement égales à leur inverse et leur appliquer la transformation vue avec la matrice $P$.

Il n'est donc pas difficile de trouver d'autres matrices égales à leur inverse.

 

Exercice 2-4

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ telle que $A^{2}=A$.

1. Montrer que si $A\neq \mathrm {I} _{n}$ alors $A$ n'est pas inversible.
2. Montrer que si $A\neq 0_{n}$ alors $\mathrm {I} _{n}-A$ n'est pas inversible.

Solution

1. Si $A$ était inversible, on pourrait multiplier à gauche par $A^{-1}$ les deux membres de l'égalité $A^{2}=A$, ainsi :

   $A^{-1}\times A^{2}=A^{-1}\times A$,

   ce qui donnerait :

   $A=\mathrm {I} _{n}$.

2. Posons $B=\mathrm {I} _{n}-A$. Alors,

   $B^{2}=(\mathrm {I} _{n}-A)^{2}=\mathrm {I} _{n}-2A+A^{2}=\mathrm {I} _{n}-2A+A=\mathrm {I} _{n}-A=B$

   donc d'après la question précédente, si $B\neq \mathrm {I} _{n}$ alors $B$ n'est pas inversible.

   Autrement dit : si $A\neq 0_{n}$ alors $\mathrm {I} _{n}-A$ n'est pas inversible.