Initiation aux matrices/Inverse d'une matrice

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Après avoir défini une multiplication des matrices et après avoir constaté que, dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre n, nous avons un élément neutre que nous avons noté $I_{n}$, la question qui se pose maintenant est de savoir si les matrices sont inversibles. C'est cette question que nous allons étudier dans ce chapitre.

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Étude d'un exemple

Soit la matrice :

$P={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}$

Existe-t-il une matrice, que nous noterons $P^{-1}$, qui vérifie la relation :

$P\times P^{-1}=P^{-1}\times P=I_{2}$

Pour répondre à cette question, nous pouvons revenir aux systèmes d'équations linéaires en imaginant qu'il existe deux valeurs $y_{1}$ et $y_{2}$ qui s'expriment en fonction de deux autres valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$ selon la relation matricielle :

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$

Nous allons essayer d'inverser la situation en établissant une relation matricielle où c'est $x_{1}$ et $x_{2}$ qui s'exprime en fonction de $y_{1}$ et $y_{2}$. Pour cela, nous considérerons le système associé :

$\left\{{\begin{array}{l}2x_{1}+5x_{2}=y_{1}\\x_{1}+3x_{2}=y_{2}\end{array}}\right.$

par combinaisons linéaires, en remplaçant la deuxième équation par ce que l'on obtient en soustrayant membre à membre 2 fois la deuxième équation à la première, nous obtenons :

$\left\{{\begin{array}{l}2x_{1}+5x_{2}=y_{1}\\-x_{2}=y_{1}-2y_{2}\end{array}}\right.$

et en ajoutant 5 fois, membre à membre, la deuxième équation à la première, on obtient :

$\left\{{\begin{array}{l}2x_{1}=6y_{1}-10y_{2}\\-x_{2}=y_{1}-2y_{2}\end{array}}\right.$

qui se simplifie sous la forme :

$\left\{{\begin{array}{l}x_{1}=3y_{1}-5y_{2}\\x_{2}=-y_{1}+2y_{2}\end{array}}\right.$

ce dernier système s'écrit matriciellement :

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}$

Nous avons alors :

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}$

et

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$

Comme nous avons aussi :

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}$

et

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$

nous en déduisons par identification :

${\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

Nous pouvons vérifier cette relation par le calcul.

Nous voyons donc que si $P$ est définie par :

$P={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}$

alors :

$P^{-1}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}$

Nous voyons que nous pouvons faire des calculs avec des matrices comme s'il s'agissait de nombre.

Exemple : Équation matricielle Soit à résoudre l'équation : $X\times {\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-4\\2&7\end{pmatrix}}$ Où $X$ est une matrice inconnue à déterminer. Nous reconnaissons la matrice ${\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}$ dont nous venons de déterminer l'inverse. Nous multiplierons donc à droite les deux membres de l'équation par ${\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}$. $X\times {\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-4\\2&7\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}$ En effectuant les produits de matrices, nous obtenons : $X\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}13&-23\\-1&4\end{pmatrix}}$ La solution de l'équation matricielle est donc : $X={\begin{pmatrix}13&-23\\-1&4\end{pmatrix}}$

Propriétés

Définition et unicité

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre n. La matrice $A$ sera dite inversible s'il existe une matrice carrée $B$ d'ordre n telle que :

$A\times B=B\times A=I_{n}$

S'il existe une matrice $B$ vérifiant cette propriété alors il n'en existe pas d'autres.

En effet supposons qu'il existe une autre matrice carrée $C$ d'ordre n vérifiant :

$A\times C=C\times A=I_{n}$

on aurait :

$C=C\times I_{n}=C\times (A\times B)=(C\times A)\times B=I_{n}\times B=B$

Matrices non inversibles

Il existe des matrices qui ne sont pas inversibles.

Par exemple, considérons la matrice :

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

et essayons de trouver une matrice sous la forme :

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

vérifiant :

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

l'exécution du produit matriciel du premier membre nous amènerait à la relation :

${\begin{pmatrix}c&d\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

qui n'est pas possible.

La matrice ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ est donc un exemple de matrice non inversible.

Produit de matrices inversibles

Soit deux matrices inversibles $A$ et $B$, d'inverses respectives $A^{-1}$ et $B^{-1}$, alors la matrice $P=A\times B$ est inversible et son inverse est :

$P^{-1}=B^{-1}\times A^{-1}$.

On a en effet :

$P\times (B^{-1}\times A^{-1})=(A\times B)\times (B^{-1}\times A^{-1})=A\times (B\times B^{-1})\times A^{-1}=A\times I_{n}\times A^{-1}=A\times A^{-1}=I_{n}$

et de même :

$(B^{-1}\times A^{-1})\times P=(B^{-1}\times A^{-1})\times (A\times B)=B^{-1}\times (A^{-1}\times A)\times B=B^{-1}\times I_{n}\times B=B^{-1}\times B=I_{n}$.

Matrices diagonalisables

Une matrice $M$ sera dite diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ tel que :

$M=P\times D\times P^{-1}$

Une matrice $M$ étant donnée, il existe des techniques permettant de savoir si la matrice est diagonalisable et permettant de calculer la matrice inversible $P$ et la matrice diagonale $D$. Mais ces techniques dépassent le cadre de cette leçon élémentaire et seront abordées dans des leçons de niveau supérieur (voir par exemple Réduction des endomorphismes). Dans le cadre de cette leçon, les matrices $P$ et $D$ devront être données.

Exemple : Matrices commutables Nous savons qu'en général le produit de deux matrices — même diagonalisables — n'est pas commutatif. Cependant, si A et B sont deux matrices qui commutent (par exemple deux matrices diagonales de même taille) et si P est une matrice inversible de même taille, alors les deux matrices A' et B' définies par : $\left\{{\begin{array}{l}A'=P\times A\times P^{-1}\\B'=P\times B\times P^{-1}\end{array}}\right.$ commutent. En effet, ${\begin{aligned}A'\times B'&=P\times A\times P^{-1}\times P\times B\times P^{-1}\\&=P\times A\times I_{n}\times B\times P^{-1}\\&=P\times A\times B\times P^{-1}\end{aligned}}$ et de même, $B'\times A'=P\times B\times A\times P^{-1}$. Prenons un exemple en utilisant la matrice $P$ vu en début de chapitre et deux matrices $A={\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}$ et $B={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ : $\left\{{\begin{array}{l}A'={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&-10\\3&-4\end{pmatrix}}\\B'={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}\end{array}}\right.$ Nous pouvons vérifier que les matrices ${\begin{pmatrix}7&-10\\3&-4\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}$ commutent. En effet, par le calcul, nous voyons que : ${\begin{pmatrix}7&-10\\3&-4\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}7&-10\\3&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&-30\\9&-16\end{pmatrix}}$