En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Calculs d'airesIntégration de Riemann/Exercices/Calculs d'aires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
définies par :
f
(
x
)
=
x
4
−
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{4}-x^{2}+1}
;
g
(
x
)
=
−
x
4
2
+
2
{\displaystyle g(x)=-{\frac {x^{4}}{2}}+2}
.
Solution
g
(
x
)
−
f
(
x
)
=
−
3
x
4
2
+
x
2
+
1
{\displaystyle g(x)-f(x)=-{\frac {3x^{4}}{2}}+x^{2}+1}
s'annule pour
x
=
±
a
{\displaystyle x=\pm a}
, avec
a
:=
b
,
b
:=
1
+
7
3
{\displaystyle a:={\sqrt {b}},\quad b:={\frac {1+{\sqrt {7}}}{3}}}
.
∫
−
a
a
(
g
−
f
)
=
a
(
−
3
b
2
5
+
2
b
3
+
2
)
=
1
+
7
3
×
4
(
19
+
7
)
45
{\displaystyle \int _{-a}^{a}(g-f)=a\left(-{\frac {3b^{2}}{5}}+{\frac {2b}{3}}+2\right)={\sqrt {\frac {1+{\sqrt {7}}}{3}}}\times {\frac {4(19+{\sqrt {7}})}{45}}}
.
Évaluer les aires des deux sous-ensembles du plan délimités par les courbes d'équations :
y
=
2
x
2
,
y
=
x
3
,
y
=
x
4
{\displaystyle y=2x^{2},\qquad y=x^{3},\qquad y={\sqrt[{4}]{x}}}
.
Solution
Notons respectivement
C
1
,
C
2
,
C
3
{\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3}}
ces trois courbes. Elles se coupent en
O
(
0
,
0
)
{\displaystyle O(0,0)}
mais aussi en
A
(
2
,
8
)
{\displaystyle A(2,8)}
pour
C
1
∩
C
2
{\displaystyle C_{1}\cap C_{2}}
, en
B
(
1
,
1
)
{\displaystyle B(1,1)}
pour
C
2
∩
C
3
{\displaystyle C_{2}\cap C_{3}}
et en
C
(
2
−
4
/
7
,
2
−
1
/
7
)
{\displaystyle C(2^{-4/7},2^{-1/7})}
pour
C
1
∩
C
3
{\displaystyle C_{1}\cap C_{3}}
.
L'aire du triangle curviligne
O
B
C
{\displaystyle OBC}
est :
∫
0
2
−
4
/
7
2
x
2
d
x
+
∫
2
−
4
/
7
1
x
1
/
4
d
x
−
∫
0
1
x
3
d
x
=
[
2
x
3
3
]
0
2
−
4
/
7
+
[
4
x
5
/
4
5
]
2
−
4
/
7
1
−
1
4
=
2
−
5
/
7
3
+
4
−
2
9
/
7
5
−
1
4
{\displaystyle \int _{0}^{2^{-4/7}}2x^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{2^{-4/7}}^{1}x^{1/4}\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}x^{3}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {2x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2^{-4/7}}+\left[{\frac {4x^{5/4}}{5}}\right]_{2^{-4/7}}^{1}-{\frac {1}{4}}={\frac {2^{-5/7}}{3}}+{\frac {4-2^{9/7}}{5}}-{\frac {1}{4}}}
.
Celle du triangle curviligne
B
A
C
{\displaystyle BAC}
est :
∫
2
−
4
/
7
2
2
x
2
d
x
−
∫
2
−
4
/
7
1
x
1
/
4
d
x
−
∫
1
2
x
3
d
x
=
[
2
x
3
3
]
2
−
4
/
7
2
−
[
4
x
5
/
4
5
]
2
−
4
/
7
1
−
15
4
=
16
−
2
−
5
/
7
3
−
4
−
2
9
/
7
5
−
15
4
{\displaystyle \int _{2^{-4/7}}^{2}2x^{2}\,\mathrm {d} x-\int _{2^{-4/7}}^{1}x^{1/4}\,\mathrm {d} x-\int _{1}^{2}x^{3}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {2x^{3}}{3}}\right]_{2^{-4/7}}^{2}-\left[{\frac {4x^{5/4}}{5}}\right]_{2^{-4/7}}^{1}-{\frac {15}{4}}={\frac {16-2^{-5/7}}{3}}-{\frac {4-2^{9/7}}{5}}-{\frac {15}{4}}}
.
Soit
R
>
0
{\displaystyle R>0}
. Calculer l'aire du disque
D
R
:=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
x
2
+
y
2
≤
R
2
}
{\displaystyle D_{R}:=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\right\}}
.
Solution
Ce disque est délimité par les deux arcs de cercle d'équations
y
=
R
2
−
x
2
{\displaystyle y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}
et
y
=
−
R
2
−
x
2
{\displaystyle y=-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}
pour
x
∈
[
−
R
,
R
]
{\displaystyle x\in \left[-R,R\right]}
, donc son aire est
∫
−
R
R
2
R
2
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{-R}^{R}2{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}
ou encore, par changement de variable
x
=
R
sin
t
{\displaystyle x=R\sin t}
:
2
R
2
∫
−
π
/
2
−
π
/
2
cos
2
t
d
t
=
R
2
∫
−
π
/
2
−
π
/
2
(
1
+
cos
2
t
)
d
t
=
R
2
[
t
+
sin
2
t
2
]
−
π
/
2
−
π
/
2
=
π
R
2
{\displaystyle 2R^{2}\int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t=R^{2}\int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\left(1+\cos 2t\right)\,\mathrm {d} t=R^{2}\left[t+{\frac {\sin 2t}{2}}\right]_{-\pi /2}^{-\pi /2}=\pi R^{2}}
.
Remarques
Le calcul de
∫
−
π
/
2
−
π
/
2
cos
2
t
d
t
{\displaystyle \int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t}
peut s'effectuer plus astucieusement :
∫
−
π
/
2
−
π
/
2
cos
2
t
d
t
=
2
∫
0
π
/
2
cos
2
t
d
t
{\displaystyle \int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t=2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t}
est égal à
2
∫
0
π
/
2
sin
2
s
d
s
{\displaystyle 2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}s\,\mathrm {d} s}
(par changement de variable
s
=
π
2
−
t
{\displaystyle s={\frac {\pi }{2}}-t}
), donc à
∫
0
π
/
2
(
cos
2
t
+
sin
2
t
)
d
t
=
π
/
2
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\left(\cos ^{2}t+\sin ^{2}t\right)\,\mathrm {d} t=\pi /2}
.
Pour une méthode plus expéditive, voir l'exemple « Aire d'un disque » dans Calcul différentiel/Jacobien#Changement de variables .
Plus généralement, pour
a
≥
b
>
0
{\displaystyle a\geq b>0}
, calculer l'aire du domaine
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
|
x
2
a
2
+
y
2
b
2
≤
1
}
{\displaystyle \left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}~\left|~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1\right.\right\}}
.
Solution
Ce domaine est délimité par les deux arcs d'ellipse d'équations
y
=
b
1
−
x
2
a
2
{\displaystyle y=b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}}
et
y
=
−
b
1
−
x
2
a
2
{\displaystyle y=-b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}}
pour
x
∈
[
−
a
,
a
]
{\displaystyle x\in \left[-a,a\right]}
, donc son aire est
∫
−
a
a
2
b
1
−
x
2
a
2
d
x
{\displaystyle \int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,\mathrm {d} x}
ou encore, par changement de variable
x
=
a
sin
t
{\displaystyle x=a\sin t}
:
2
a
b
∫
−
π
/
2
−
π
/
2
cos
2
t
d
t
=
π
a
b
{\displaystyle 2ab\int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t=\pi ab}
.
Remarque
Si l'on connaît le changement de variable dans une intégrale double (niveau 15 ), on peut aussi :
déduire ce résultat du précédent, en remarquant que
x
2
a
2
+
y
2
b
2
≤
1
⇔
(
x
,
y
)
=
(
a
u
,
b
v
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1\Leftrightarrow \left(x,y\right)=\left(au,bv\right)}
avec
(
u
,
v
)
∈
D
1
{\displaystyle \left(u,v\right)\in D_{1}}
;
le démontrer directement en généralisant la « méthode plus expéditive » signalée précédemment, en posant
x
=
a
r
cos
θ
{\displaystyle x=ar\cos \theta }
et
y
=
b
r
sin
θ
{\displaystyle y=br\sin \theta }
.
Calculer l'aire du parallélogramme
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
a
≤
x
≤
b
,
α
x
+
c
≤
y
≤
α
x
+
d
}
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid a\leq x\leq b,\;\alpha x+c\leq y\leq \alpha x+d\}}
.
Solution
∫
a
b
(
(
α
x
+
d
)
−
(
α
x
+
c
)
)
d
x
=
(
d
−
c
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}((\alpha x+d)-(\alpha x+c))\;\mathrm {d} x=(d-c)(b-a)}
.
Calculer l'aire du domaine
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
−
1
≤
x
≤
1
,
x
3
≤
y
≤
x
2
}
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid -1\leq x\leq 1,\;x^{3}\leq y\leq x^{2}\}}
.
Solution
∫
−
1
1
(
x
2
−
x
3
)
d
x
=
[
x
3
3
−
x
4
4
]
−
1
1
=
2
3
{\displaystyle \int _{-1}^{1}(x^{2}-x^{3})\;\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{3}}-{\cancel {\frac {x^{4}}{4}}}\right]_{-1}^{1}={\frac {2}{3}}}
.
On se donne les points du plan
A
(
0
,
1
)
{\displaystyle A(0,1)}
,
B
(
1
,
0
)
{\displaystyle B(1,0)}
et
C
(
2
,
0
)
{\displaystyle C(2,0)}
.
Écrire les équations des droites
(
A
B
)
{\displaystyle (AB)}
et
(
A
C
)
{\displaystyle (AC)}
.
Calculer l'aire du triangle
A
B
C
{\displaystyle ABC}
.
Calculer l'aire du triangle
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
x
,
y
≥
0
,
x
+
y
≤
1
}
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x,y\geq 0,\;x+y\leq 1\}}
.