Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Groupe des inversibles des entiers modulo n
1. Soient un anneau commutatif intègre, son groupe des inversibles et un sous-groupe fini de .
- Montrer que est cyclique.
- (Indication : considérer le polynôme , où désigne l'exposant du groupe , c'est-à-dire le plus petit entier tel que et utiliser que dans tout groupe abélien d'exposant fini , il existe un élément d'ordre .)
- En déduire que pour tout nombre premier , le groupe est cyclique.
- En déduire que pour tout , le groupe contient un élément d'ordre .
- (Indication : dans tout groupe, si un élément est d'ordre alors est d'ordre .)
Solution
- Soient un élément de d'ordre et le sous-groupe qu'il engendre. Puisque , . Réciproquement, car le polynôme a au moins racines dans (or dans un anneau commutatif intègre, le nombre de racines d'un polynôme non nul est au plus égal à son degré). Par conséquent, .
- Plus généralement, d'après la question précédente, le groupe multiplicatif de tout corps fini (commutatif) est cyclique.
- Soit, d'après la question précédente, un entier dont la classe dans est d'ordre et soit l'ordre de sa classe dans . Alors, donc , et la classe de dans est d'ordre .
2. Soit un nombre premier impair.
- Montrer que .
- En déduire que dans le groupe , la classe de est d'ordre .
- En déduire, à l'aide de la question 1.3, que est cyclique.
- (Indication : dans un groupe abélien, si deux éléments sont d'ordres et premiers entre eux, leur produit est d'ordre ).
Solution
- Soit . Montrons par récurrence que . On a et, en développant par la formule du binôme, . Les coefficients pour et sont tous entiers, même celui pour bien que l'exposant soit (dans ce seul cas) strictement négatif (égal à ), car et est impair.
- Modulo , on a bien et .
- Le groupe est d'ordre et contient un élément d'ordre et un élément d'ordre . Leur produit est donc un générateur du groupe.
3.
- Décrire et .
- Montrer que .
- En déduire que pour tout , dans le groupe , la classe de est d'ordre .
- En déduire que est alors le produit direct de deux sous-groupes cycliques non triviaux.
Solution
- est le groupe trivial et est le groupe cyclique d'ordre .
- Soit . Montrons par récurrence que . On a et, en développant , .
- Modulo , on a bien et .
- Dans , qui est d'ordre , les sous-groupes engendrés par la classe de et celle de ont pour ordres respectifs et . De plus, leur intersection est le sous-groupe trivial, c'est-à-dire que , aucune puissance de n'est congrue à . En effet, , puisque est d'ordre , sa seule puissance qui soit d'ordre est (on peut aussi remarquer que toutes les puissances de sont congrues à ).
4. Quels sont les entiers pour lesquels est cyclique ?
Solution
Soit (décomposition en facteurs premiers). D'après le théorème des restes chinois, est isomorphe au produit direct des groupes . D'après les questions précédentes, il est donc cyclique si et seulement si et les sont premiers entre eux deux à deux. Or pour premier impair et , est pair. Par conséquent, est cyclique si et seulement si , , ou , avec premier impair et .