En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Devoir : Nombres équivalents Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Nombres équivalents », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On note la relation d'équivalence sur les irrationnels « avoir un quotient complet commun ».
Autrement dit, si deux irrationnels et ont pour suites de quotients complets et :
.
1°) Justifier brièvement les deux propriétés suivantes :
a) avec les mêmes notations : ;
b) pour tout irrationnel :
Lemme 1 : .
2°) On considère d'autre part l'action, sur l'ensemble des irrationnels, du groupe (les matrices à coefficients entiers et de déterminant ), donnée, pour tout irrationnel , par :
.
Démontrer que (pour tous irrationnels et ) :
.
La suite de l'exercice va consister à démontrer la réciproque, à l'aide du lemme 1 ci-dessus et des lemmes 2 et 3 suivants, élémentaires donc admis : pour tout irrationnel ,
3°) Soient deux irrationnels dans la même orbite pour l'action de . Il existe donc tels que
.
Montrer qu'on peut même choisir tels que de plus, ou .
4°) Montrer que si alors (utiliser les lemmes 1 et 2).
5°) On étudie maintenant le second cas : . On choisit alors, parmi les deux développements du rationnel en fraction continue finie, celui dont la longueur est de parité telle que
.
On le note
.
et l'on note (pour ) les numérateurs et dénominateurs des réduites associées.