Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Principe local-global pour les carrés

Soit $a$ un entier relatif non carré. On se propose de démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers modulo lesquels le nombre $a$ n'est pas un carré (ce qui affine le théorème d'Euclide), en utilisant la loi de réciprocité quadratique étendue au symbole de Jacobi ; mais au lieu d'utiliser, comme dans l'exercice 4-15, le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, on va simplement raisonner comme Euclide en montrant que, pour tout ensemble fini de nombres premiers, il existe un nombre premier n'appartenant pas à cet ensemble et modulo lequel $a$ n'est pas un carré.

On va distinguer trois cas, selon la parité des exposants $r_{i}$ (non tous pairs) dans la décomposition

$a=(-1)^{r_{0}}2^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\dots p_{m}^{r_{m}}$,

où les $p_{i}$ sont des nombres premiers impairs distincts.

1. On suppose dans cette question que $r_{2},\dots ,r_{m}$ ne sont pas tous pairs : par exemple (quitte à permuter les $p_{i}$) $r_{2}$ est impair. Soit $\{l_{1},\dots ,l_{k}\}$ un ensemble fini de nombres premiers différents de $p_{2}$.
   1. Montrer qu'il existe un entier naturel $x$ non carré ${\bmod {p_{2}}}$ et congru à $1{\bmod {8p_{3}\dots p_{m}l_{1}\dots l_{k}}}$ (donc impair).
   2. Soit $x=q_{1}^{u_{1}}\dots q_{n}^{u_{n}}$ sa décomposition en facteurs premiers. En écrivant de deux façons le symbole de Jacobi $\left({\frac {a}{x}}\right)$, montrer que l'un au moins des $\left({\frac {a}{q_{j}}}\right)$ est égal à $-1$.
   3. Conclure.
2. On suppose maintenant que $r_{2},\dots ,r_{m}$ sont pairs et $r_{1}$ impair. Soit $\{l_{1},\dots ,l_{k}\}$ un ensemble fini de nombres premiers impairs.
   1. Montrer qu'il existe un entier naturel $x$ congru à $-3{\bmod {8}}$ et premier avec $p_{2}\dots p_{m}l_{1}\dots l_{k}$.
   2. Conclure en procédant comme dans la question précédente.
3. On suppose enfin que $r_{1},\dots ,r_{m}$ sont pairs et $r_{0}$ impair. Soit $\{l_{1},\dots ,l_{k}\}$ un ensemble fini de nombres premiers. En considérant l'entier $x:=-1+4p_{2}\dots p_{m}l_{1}\dots l_{k}$, conclure de même.

Solution

1. 1. Soit $y$ un entier non carré ${\bmod {p_{2}}}$. Par le théorème des restes chinois, il existe un entier naturel $x$ congru à $y{\bmod {p_{2}}}$ et à $1{\bmod {8p_{3}\dots p_{m}l_{1}\dots l_{k}}}$.
   2. Le produit $\prod \left({\frac {a}{q_{j}}}\right)^{u_{j}}=\left({\frac {a}{x}}\right)=\left({\frac {-1}{x}}\right)^{r_{0}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{r_{1}}\prod _{i\geq 2}\left({\frac {p_{i}}{x}}\right)^{r_{i}}$ est égal à $1^{r_{0}}1^{r_{1}}\prod _{i\geq 2}\left({\frac {x}{p_{i}}}\right)^{r_{i}}$(puisque $x\equiv 1{\bmod {8}}$) donc à $(-1)^{r_{2}}\prod _{i>2}1^{r_{i}}=-1$, ce qui prouve que l'un au moins des facteurs $\left({\frac {a}{q_{j}}}\right)$ vaut $-1$.
   3. Par construction, $x$ n'est divisible ni par $p_{2}$, ni par aucun $l_{i}$ donc $q_{j}\notin \{p_{2},l_{1},\dots ,l_{k}\}$, ce qui achève la preuve du théorème dans le cas $r_{2}$ impair.
2. 1. Par le théorème des restes chinois, il existe un entier naturel $x$ congru à $-3{\bmod {8}}$ et par exemple à $1{\bmod {p_{2}\dots p_{m}l_{1}\dots l_{k}}}$.
   2. Soit $x=q_{1}^{u_{1}}\dots q_{n}^{u_{n}}$ sa décomposition en facteurs premiers. $\prod \left({\frac {a}{q_{j}}}\right)^{u_{j}}=\left({\frac {-1}{x}}\right)^{r_{0}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{r_{1}}\prod _{i\geq 2}\left({\frac {p_{i}}{x}}\right)^{r_{i}}=1^{r_{0}}(-1)^{r_{1}}\prod _{i\geq 2}\left(\pm 1\right)^{r_{i}}=-1$, donc l'un au moins des $\left({\frac {a}{q_{j}}}\right)$ est égal à $-1$. Par construction, $q_{j}\notin \{2,l_{1},\dots ,l_{k}\}$, et l'on conclut comme précédemment.
3. Soit $x=q_{1}^{u_{1}}\dots q_{n}^{u_{n}}$ la décomposition de $x$ en facteurs premiers. $\prod \left({\frac {a}{q_{j}}}\right)^{u_{j}}=\left({\frac {-1}{x}}\right)^{r_{0}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{r_{1}}\prod _{i\geq 2}\left({\frac {p_{i}}{x}}\right)^{r_{i}}=(-1)^{r_{0}}(\pm 1)^{r_{1}}\prod _{i\geq 2}\left(\pm 1\right)^{r_{i}}=-1$, et l'on conclut de même.

 

Référence

Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, coll. « GTM » (n^o 84), 1990 [lire en ligne], p. 57-58 , ne traitent que le cas d'un entier naturel $a$ non carré. Autrement dit : $r_{0}=0$ et la question 3 n'est pas envisagée. Par ailleurs, ils commencent par se ramener au cas où $a$ est sans facteur carré (sans y gagner vraiment).