En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Approximation diophantienne et fractions continues Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit . On note sa mesure d'irrationalité, c'est-à-dire la borne supérieure (éventuellement infinie) de l'ensemble des réels tels que pour une infinité de couples .
Pourquoi a-t-on toujours ?
Soit la borne inférieure de l'ensemble des réels pour lesquels :
il existe tel que pour tout rationnel .
Démontrer que . (Indication : montrer que et que .)
Démontrer que la mesure d'irrationalité de tout rationnel est égale à .
Solution
Pour , on a pour une infinité de couples : par exemple, on choisit arbitrairement , puis tel que .
Soit . Alors, on n'a que pour un nombre fini de couples tels que . Notons-les . Pour eux, on a avec (>0). Pour tous les autres, on a . En posant , ceci prouve que , et par passage à la limite, .
Soient et . Alors, il existe tel que pour tout rationnel . Or pour suffisamment grand, . Et pour chacune des petites valeurs de qui ne vérifient pas cela (et qui sont en nombre fini), on n'a que pour un nombre fini de valeurs de . Finalement, on n'a donc que pour un nombre fini de couples , ce qui prouve que , et par passage à la limite, .
Supposons que . On sait déjà que .
Montrons que . Soit . Les couples tels que sont en nombre fini car cela implique donc , puis .
Alternativement, montrons que . Pour tout rationnel , on a pour .
Déduire du théorème d'approximation de Dirichlet que est infini.
En déduire que la mesure d'irrationalité de est supérieure ou égale à .
Solution
La distance de à est nulle car d'après le théorème d'approximation de Dirichlet, . Or . Donc est infini. Une variante consiste (toujours à l'aide du théorème d'approximation de Dirichlet) à définir par récurrence une suite infinie de rationnels tels que la suite des soit strictement décroissante, ce qui implique que ces rationnels sont distincts : cf. Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4), 2010 [lire en ligne], p. 6-7 ou Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, 2004 [lire en ligne], p. 2-3.
Par conséquent, est infini, donc (avec les notations de l'exercice précédent) .
Montrer qu'un réel est de Liouville (c'est-à-dire de mesure d'irrationalité infinie) si et seulement si pour tout entier , il existe des entiers et tels que .
En déduire que pour tout entier et toute suite d'entiers compris entre et , le nombre est de Liouville, à condition bien sûr qu'une infinité de soient non nuls. Indication : poser et .
Si (avec les notations de l'exercice 2-1) est infini alors, pour tout entier , on a pour une infinité de couples . Or on n'a que pour un nombre fini d'entiers . Il existe donc des entiers et tels que . Réciproquement, s'il existe une telle suite de couples alors est minoré par tout réel . En effet, on a pour tous les , et les rationnels correspondants forment un ensemble infini (donc les couples aussi), puisque .
Pour tout entier , et donc .
L'application avec , est injective et à valeurs dans les nombres de Liouville.
La seconde égalité est immédiate et la première se démontre par récurrence : la formule est vraie pour , et si elle l'est à un ordre alors, en remplaçant l'indéterminée par la fraction rationnelle dans l'égalité
,
on obtient bien :
La seconde égalité est immédiate et la première se déduit de la définition de et :
.
joint les deux procédés :
,
d'où l'équation finale (dès ), après initialisation de la récurrence par .
Remarquons que d'après l'équation 3, l'équation 2 se réécrit : .
En déduire également qu'un rationnel n'a qu'un développement (en fraction continue simple finie) de la forme avec (donc n'a que deux développements, le second étant ).
Solution
(H&W, th. 159-160 et 169-170)
.
Notons l'irrationnel . D'après le corollaire 1' de la formule 1 démontrée dans l'exercice précédent, . Notons d'autre part le -ième quotient complet du développement de en fraction continue. Par construction, . Supposons que . Alors, , si bien que de proche en proche, pour tout de à , en particulier (on peut aussi démontrer cette égalité plus directement, grâce aux formules 2 et 2'). Or par définition, et d'après la question précédente, . Donc .
Soient avec , , et par exemple . Alors, par le même raisonnement que dans la question précédente, et , donc et .
Montrer qu'il existe tel que et déduire de la question précédente que pour un tel , .
En déduire que si alors est égal à l'une des réduites de .
Application : soient un entier positif non carré et deux entiers strictement positifs tels que . Montrer que et en déduire que est l'une des réduites de .
Utilité du facteur [1] : trouver une fraction telle que mais qui ne fait pas partie des réduites de .
Solution
.
et , donc il existe un plus petit tel que . Pour un tel , .
Si alors donc .
(car et ), donc . Par ailleurs, . Donc , si bien que
.
D'après la question précédente, est donc l'une des réduites de .
Les deux premiers dénominateurs des réduites de sont et , donc une fraction de dénominateur ne fera pas partie des réduites. Comme , la plus proche est . On trouve .
Cet exercice constitue une démonstration du théorème de Lagrange sur les fractions continues périodiques à partir d'un certain rang.
Soient un irrationnel et, dans son développement en fraction continue, la suite des quotients complets et celle des quotients partiels.
Montrer que si est -périodique () à partir du rang alors est un irrationnel quadratique, c'est-à-dire algébrique de degré 2 et en déduire qu'alors, aussi. Indication : d'après l'équation générique vue dans l'exercice 2-4, on a et de même, pour certains entiers avec .
Réciproquement, dans toute la suite de l'exercice, on suppose que est racine d'un polynôme de degré 2 à coefficients entiers, noté . En utilisant que , construire par récurrence une suite de couples telle que soit racine du polynôme .
Vérifier que la suite des discriminants est constante.
Pour tout irrationnel quadratique , notons son « conjugué », c'est-à-dire l'autre racine de son polynôme minimal sur . Calculer le produit en fonction des coefficients de .
Un petit lemme utile pour les deux questions suivantes : montrer que pour tout irrationnel quadratique et tous rationnels et , on a et . Indication : déterminer d'abord le polynôme minimal de , en fonction de , et des coefficients (« trace » de ) et (« norme » de ) du polynôme minimal de . Faire de même pour .
Montrer que pour au moins un , (en montrant que sinon, et auraient même fraction continue, ce qui est absurde).
Pour un tel , démontrer que et en déduire que et sont de signes contraires.
En déduire que les coefficients de ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs.
En déduire que et sont périodiques à partir d'un certain rang.
Le vérifier sur l'exemple et calculer la suite des polynômes associés, ainsi que les réduites jusqu'à l'indice et un encadrement de .
Solution
Si alors (avec et ) donc avec , irréductible sur puisque est irrationnel. En remplaçant par dans cette équation et en chassant les dénominateurs, on en déduit : , qui est elle aussi une équation de degré 2 car le coefficient de est .
Puisque (par hypothèse de récurrence) , l'irrationnel est racine de donc il suffit de poser et . On aura bien car par hypothèse de récurrence, donc est non nul et irréductible sur .
Immédiat.
.
Soit . Alors, donc est quadratique, , et .
Soit maintenant . Alors, donc est quadratique, , et .
D'après la question précédente, . Si tous les pour étaient supérieurs à , cette suite d'égalités constituerait exactement la décomposition de en fraction continue et l'on aurait donc .
: par récurrence, en utilisant que . Puis et de signes contraires : d'après la question 4 et le fait que .
Immédiat, d'après la question précédente et la question 3.
D'après la question précédente, la suite ne prend qu'un nombre fini de valeurs, donc la suite également. Si alors la suite est -périodique à partir du rang , donc la suite aussi.
, , , , , , , , , , , , , . Donc , , , et . donc est compris entre et donc .
Cet exercice constitue une démonstration du corollaire de Galois sur les fractions continues purement périodiques.
Soient un irrationnel quadratique, la suite de ses quotients complets, la suite de leurs conjugués et la suite de ses quotients partiels. D'après l'exercice précédent, ces suites sont donc -périodiques à partir d'un certain rang (pour un certain entier ).
On pose . Montrer que .
On suppose que . D'après l'exercice précédent (question 7), tous les sont donc positifs. Montrer qu'ils sont même supérieurs à , et que le développement de en fraction continue est . En déduire que est un irrationnel quadratique « réduit », c'est-à-dire que et , ou encore : .
Réciproquement, on suppose que est réduit. Montrer qu'alors, pour tout , est la partie fractionnaire de , et en déduire que .
Solution
donc (cf. « petit lemme » de l'exercice précédent) , ce qui se réécrit , ou encore : .
Les sont positifs à partir d'un certain rang d'après l'exercice précédent, donc ils sont tous positifs puisqu'ils forment une suite périodique. De même, puisqu'ils sont supérieurs à à partir d'un certain rang (car ), ils sont tous supérieurs à . De plus, d'après la question précédente, . Donc par définition du développement en fraction continue, . Enfin, donc (c'est-à-dire ) et donc (c'est-à-dire ).
Par hypothèse, (donc ) et . D'après la question 1, tous les sont alors supérieurs à (par récurrence) et l'équation est donc exactement la décomposition de en partie entière plus partie fractionnaire. Par conséquent, si alors (d'après le « petit lemme ») donc (en prenant les inverses des parties fractionnaires) donc (à nouveau d'après le « petit lemme ») . Ceci prouve la nullité du rang à partir duquel la suite (donc aussi la suite ) est -périodique.
Cet exercice constitue une démonstration du corollaire de Legendre sur les fractions continues des racines carrées de rationnels.
Soit un rationnel non carré d'un rationnel, et soit la partie entière de . Montrer que l'irrationnel quadratique est « réduit » (notion définie dans l'exercice précédent). Son développement est donc purement périodique : . Écrire de deux façons (en fonction de et des ) le développement en fraction continue de et en déduire qu'il est de la forme .
Réciproquement, soit un irrationnel dont le développement en fraction continue est de la forme (ce qui implique ). Écrire le développement en fraction continue de et en déduire que puis, que .
Calculer les développements en fraction continue[2] de et .
Solution
et donc est réduit. On a d'une part et d'autre part (d'après l'exercice précédent) donc . Par conséquent, , etc. et la conclusion s'ensuit.
donc (d'après l'exercice précédent) . Par conséquent, , donc le nombre (rationnel par définition de ) est égal à .
Soient , la racine positive de l'équation et l'autre racine.
Montrer que est irrationnel.
Montrer que les dénominateurs des réduites du développement en fraction continue sont donnés par
.
Pour , reconnaître le réel et la suite .
Solution
Première méthode : puisque avec , il suffit de montrer que . n'est pas le carré d'un entier car si , et si , (ou encore : car n'est pas un carré et pour , la distance entre et le carré suivant, , est ). Ce n'est donc pas non plus le carré d'un rationnel car si avec entiers positifs premiers entre eux alors donc .
Deuxième méthode : puisque et , le développement de en fraction continue est . Ce développement est infini donc est irrationnel.
(cf. seconde méthode ci-dessus). D'après la définition par récurrence de la suite , la formule voulue est vraie pour et et (en utilisant que et ) se propage par récurrence à tout .
, (car ), , (car , car , car ), , donc et , si bien que . Une autre méthode, au lieu d'appliquer l'algorithme au membre de gauche, est de développer celui de droite : et donc et l'on retrouve ainsi , d'où . Par exemple, .
Ce résultat illustre les théorèmes de Lagrange (la périodicité de la fraction continue à partir d'un certain rang caractérise les irrationnels quadratiques) et de Legendre (lorsque cet irrationnel est la racine carrée d'un rationnel, forme particulière de la période — ici — et début de la périodicité dès l'indice 1).
↑Pour plus de précisions, voir l'article de Dominique Barbolosi et Hendrik Jager, « On a theorem of Legendre in the theory of continued fractions », Journal de théorie des nombres de Bordeaux, vol. 6, no 1, 1994, p. 81-94 [texte intégral].
↑Le développement de , pour tout entier naturel non carré , est disponible en ligne : Eric W. Weisstein, « Periodic Continued Fraction », sur MathWorld.