Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues

Approximation diophantienne et fractions continues
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Exercices no2
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Approximation diophantienne et fractions continues

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Nombres premiers et fonctions arithmétiques
Exo suiv. :Séries et produits infinis formels
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues
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Exercice 2-1

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Soit  . On note   sa mesure d'irrationalité, c'est-à-dire la borne supérieure (éventuellement infinie) de l'ensemble des réels   tels que   pour une infinité de couples  .

  1. Pourquoi a-t-on toujours   ?
  2. Soit   la borne inférieure de l'ensemble des réels   pour lesquels :
    il existe   tel que   pour tout rationnel  .
    Démontrer que  . (Indication : montrer que   et que  .)
  3. Démontrer que la mesure d'irrationalité de tout rationnel est égale à  .

Exercice 2-2

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Soit   un irrationnel. On pose   et  .

  1. Déduire du théorème d'approximation de Dirichlet que   est infini.
  2. En déduire que la mesure d'irrationalité de   est supérieure ou égale à  .

Exercice 2-3

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  1. Montrer qu'un réel   est de Liouville (c'est-à-dire de mesure d'irrationalité infinie) si et seulement si pour tout entier  , il existe des entiers   et   tels que  .
  2. En déduire que pour tout entier   et toute suite   d'entiers compris entre   et  , le nombre   est de Liouville, à condition bien sûr qu'une infinité de   soient non nuls. Indication : poser   et  .
  3. En déduire que l'ensemble des nombres de Liouville a la puissance du continu.

Exercice 2-4

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Démontrer la proposition suivante du cours : si

 

alors ( ) :

  1.   ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 2-5

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  1. Soient  ,   et  . Vérifier que  .
  2. En déduire la fin de la preuve du théorème de bijection entre irrationnels et fractions continues infinies, c'est-à-dire : soient   une fraction continue simple infinie,   la limite (irrationnelle) de la suite de ses réduites et   la fraction continue de   ; montrer (par récurrence bien fondée) que  .
  3. En déduire également qu'un rationnel n'a qu'un développement (en fraction continue simple finie) de la forme   avec   (donc n'a que deux développements, le second étant  ).

Exercice 2-6

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Soient   un irrationnel,   la suite de ses réduites et   un rationnel ( ).

  1. On rappelle (cf. preuve du théorème de meilleure approximation) que pour tout   tel que  , on a  . Montrer que pour un tel  ,
     .
  2. Montrer qu'il existe   tel que   et déduire de la question précédente que pour un tel  ,  .
  3. En déduire que si   alors   est égal à l'une des réduites de  .
  4. Application : soient   un entier positif non carré et   deux entiers strictement positifs tels que  .
    Montrer que   et en déduire que   est l'une des réduites de  .
    Cette propriété complète le devoir sur l'équation de Pell-Fermat.
  5. Utilité du facteur  [1] : trouver une fraction   telle que   mais qui ne fait pas partie des réduites de  .

Exercice 2-7

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Cet exercice constitue une démonstration du théorème de Lagrange sur les fractions continues périodiques à partir d'un certain rang.

Soient   un irrationnel et, dans son développement en fraction continue,   la suite des quotients complets et   celle des quotients partiels.

  1. Montrer que si   est  -périodique ( ) à partir du rang   alors   est un irrationnel quadratique, c'est-à-dire algébrique de degré 2 et en déduire qu'alors,   aussi.
    Indication : d'après l'équation générique   vue dans l'exercice 2-4, on a   et de même,   pour certains entiers   avec  .
  2. Réciproquement, dans toute la suite de l'exercice, on suppose que   est racine d'un polynôme de degré 2 à coefficients entiers, noté  . En utilisant que  , construire par récurrence une suite de couples   telle que   soit racine du polynôme  .
  3. Vérifier que la suite des discriminants   est constante.
  4. Pour tout irrationnel quadratique  , notons   son « conjugué », c'est-à-dire l'autre racine de son polynôme minimal sur  . Calculer le produit   en fonction des coefficients de  .
  5. Un petit lemme utile pour les deux questions suivantes : montrer que pour tout irrationnel quadratique   et tous rationnels   et  , on a   et  .
    Indication : déterminer d'abord le polynôme minimal de  , en fonction de  ,   et des coefficients   (« trace » de  ) et   (« norme » de  ) du polynôme minimal   de  . Faire de même pour  .
  6. Montrer que pour au moins un  ,   (en montrant que sinon,   et   auraient même fraction continue, ce qui est absurde).
  7. Pour un tel  , démontrer que   et en déduire que   et   sont de signes contraires.
  8. En déduire que les coefficients de   ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs.
  9. En déduire que   et   sont périodiques à partir d'un certain rang.
  10. Le vérifier sur l'exemple   et calculer la suite des polynômes   associés, ainsi que les réduites jusqu'à l'indice   et un encadrement de  .

Exercice 2-8

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Cet exercice constitue une démonstration du corollaire de Galois sur les fractions continues purement périodiques.

Soient   un irrationnel quadratique,   la suite de ses quotients complets,   la suite de leurs conjugués et   la suite de ses quotients partiels. D'après l'exercice précédent, ces suites sont donc  -périodiques à partir d'un certain rang (pour un certain entier  ).

  1. On pose  . Montrer que  .
  2. On suppose que  . D'après l'exercice précédent (question 7), tous les   sont donc positifs. Montrer qu'ils sont même supérieurs à  , et que le développement de   en fraction continue est  . En déduire que   est un irrationnel quadratique « réduit », c'est-à-dire que   et  , ou encore :  .
  3. Réciproquement, on suppose que   est réduit. Montrer qu'alors, pour tout  ,   est la partie fractionnaire de  , et en déduire que  .

Exercice 2-9

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Cet exercice constitue une démonstration du corollaire de Legendre sur les fractions continues des racines carrées de rationnels.

  1. Soit   un rationnel non carré d'un rationnel, et soit   la partie entière de  . Montrer que l'irrationnel quadratique   est « réduit » (notion définie dans l'exercice précédent). Son développement est donc purement périodique :  . Écrire de deux façons (en fonction de   et des  ) le développement en fraction continue de   et en déduire qu'il est de la forme  .
  2. Réciproquement, soit   un irrationnel dont le développement en fraction continue est de la forme   (ce qui implique  ). Écrire le développement en fraction continue de   et en déduire que   puis, que  .
  3. Calculer les développements en fraction continue[2] de   et  .

Exercice 2-10

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(Exercice iii de Baker p. 59.)

Soient  ,   la racine positive de l'équation   et   l'autre racine.

  1. Montrer que   est irrationnel.
  2. Montrer que les dénominateurs des réduites   du développement en fraction continue   sont donnés par
     .
  3. Pour  , reconnaître le réel   et la suite  .

Exercice 2-11

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On cherche à faire le lien (utilisé dans le devoir sur les nombres équivalents) entre les fractions continues de deux irrationnels opposés,

 .
  1. Exprimer   en fonction de  .
  2. Vérifier l'égalité (entre fractions rationnelles en les indéterminées  ) :
     .
  3. En déduire que si   alors
     .
  4. En déduire que si   alors
     
    (indication : intervertir les rôles de   et  ).

Exercice 2-12

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  1. Soit  . Démontrer que  .
  2. Quel(s) théorème(s) ce résultat illustre-t-il ?

Références

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  1. Pour plus de précisions, voir l'article de Dominique Barbolosi et Hendrik Jager, « On a theorem of Legendre in the theory of continued fractions », Journal de théorie des nombres de Bordeaux, vol. 6, no  1, 1994, p. 81-94 [texte intégral].
  2. Le développement de  , pour tout entier naturel non carré  , est disponible en ligne : Eric W. Weisstein, « Periodic Continued Fraction », sur MathWorld.

Voir aussi

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Devoirs :