Introduction à la théorie des nombres/Approximation diophantienne et fractions continues

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Soit un réel.

Approximation diophantienne et fractions continues
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Chapitre no 2
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chap. préc. :Nombres premiers et fonctions arithmétiques
Chap. suiv. :Séries et produits infinis formels

Exercices :

Approximation diophantienne et fractions continues
Devoir :Nombres équivalents
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Approximation d'un réel par des rationnels

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Application du principe des tiroirs

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On cherche à approcher   par des rationnels   « raisonnables » (de dénominateur   et numérateur   « pas trop grands »). Comme   est dense dans  , plus on s'autorise   grand, plus on peut se rapprocher du réel  . La taille nécessaire pour   en fonction de l'erreur tolérée dépend de  , mais pour tous les réels on a déjà :

Début d’un théorème
Fin du théorème


  Faites ces exercices : Exercice 2-2.


Application
On en déduira (dans l'exercice lié) que si  , alors il existe une infinité de fractions   — et a fortiori de couples   — vérifiant  .
Remarques
  • À l'inverse, si   alors, en excluant les solutions triviales  , il ne reste qu'un nombre fini de solutions (voir infra).
  • On verra au chapitre 6 un théorème plus général d'approximation diophantienne simultanée de plusieurs réels.

Mesure d'irrationalité

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Plus cette « mesure » est grande, mieux   est approchable par des rationnels différents de  , et moins il est algébrique. Plus précisément :

  • Elle vaut   si   (voir l'exercice 2-1), et elle est supérieure ou égale à   sinon (voir supra).
  • Elle est finie si   est algébrique, d'après le théorème de Liouville ci-dessous[1]. Les nombres de Liouville sont donc transcendants.
  Faites ces exercices : la constante de Liouville et ses variantes.


Exemple de nombre de Liouville : la constante de Liouville   (voir l'exercice lié).

On démontrera en exercice la proposition suivante :

Cette définition équivalente de la mesure d'irrationalité est plus commode pour démontrer le théorème suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Fractions continues

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Wikipédia possède un article à propos de « Fraction continue ».

Réduites, ou fractions continues finies

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La preuve de la propriété suivante est laissée en exercice.

Remarques
  • En particulier,  , ce qui fournit une définition récursive équivalente à la précédente.
  • On n'a pas imposé pour l'instant que les   soient des entiers, ni pris la précaution de supposer non nulles les quantités qu'on inverse. Cette définition est donc à prendre au sens formel, c'est-à-dire en considérant les   comme des indéterminées et en se plaçant dans leur corps de fractions rationnelles. Par exemple :
     .

Les deux fractions continues (finies) d'un rationnel

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Pour tout rationnel  , l'algorithme d'Euclide fournit un développement de   en fraction continue finie « simple », c'est-à-dire avec   et   pour  .

Le développement   obtenu ainsi a la particularité que les   pour   sont même strictement supérieurs à  . On en déduit un second développement de   en fraction continue simple, qui n'a plus cette particularité :  .

  Faites ces exercices : Exercice 2-5.


Ce sont les deux seuls (cf. exercice lié).

La fraction continue (infinie) d'un irrationnel

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Dans l'algorithme d'Euclide ci-dessus, si l'on note   (en particulier  ),   était la partie entière de   et   sa partie fractionnaire. Pour tout irrationnel  , le même algorithme donne une fraction continue simple infinie :

 .

Ainsi,   et l'algorithme ne s'arrête évidemment jamais. L'irrationnel   (  si  ) et sa partie entière   sont appelés le quotient complet et le quotient partiel de   d'indice  .

Numérateurs et dénominateurs des réduites

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On a déjà observé que les réduites associées à une suite   s'expriment rationnellement en fonction des  . On peut systématiser l'exemple qui l'illustrait :

On obtient ainsi :

Remarques
  • Comme dans la définition des réduites (voir supra), ces formules sont à prendre au sens formel, les   étant des indéterminées et les   des polynômes en ces indéterminées. On peut donc y remplacer à volonté les indéterminées par des entiers ou même des réels, tant que cela ne remplace pas les dénominateurs par  .
  • En particulier, pour une fraction continue simple infinie :
    • pour tout   :   et   ;
    •   ;
    • la suite d'entiers   est strictement croissante[2] donc tend vers l'infini.

Bijection entre irrationnels et fractions continues infinies

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Les résultats de cette section sont centraux dans la théorie des fractions continues : ils établissent une bijection entre l'ensemble des fractions continues infinies simples et l'ensemble des irrationnels[3], et montrent au passage que les réduites d'un irrationnel en constituent une « bonne approximation », en un sens qui sera précisé dans la section suivante.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Meilleure approximation

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Remarque
La fraction   approche alors mieux  , au sens ordinaire (plus faible que celui de la définition), que toute autre fraction de dénominateur plus petit, car
si   et   alors  .


Début d’un théorème
Fin du théorème

Fraction continue d'un irrationnel quadratique

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Wikipédia possède un article à propos de « Fraction continue d'un irrationnel quadratique ».


Début d’un théorème
Fin du théorème

Pour un tel développement, on introduit la notation suivante :


  1. La mesure d'irrationalité d'un irrationnel algébrique est en fait exactement égale à 2 : c'est le théorème de Thue-Siegel-Roth (Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), et enfin Klaus Roth (1955), médaille Fields en 1958), plus précis que celui de Liouville. Par ailleurs, d'après un théorème de Khinchine de 1924, la mesure d'irrationalité de presque tout réel est égale à 2.
  2. La croissance stricte n'est garantie qu'à partir de  , car   si  .
  3. Ceci fournit une preuve explicite du fait que l'ensemble des irrationnels a la puissance du continu. C'est d'ailleurs cette méthode qui permit à Cantor, en 1878, de démontrer directement que   est équipotent à  , au lieu d'utiliser que   et que (via une bijection canonique)  .
  4. Avec une licence pour le numérateur de la première réduite  , puisque l'entier   qui minimise   peut être  .
  5. À ne pas confondre avec la notion de conjugué d'un nombre complexe.