Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques

Résidus quadratiques
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Exercices no4
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Résidus quadratiques

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Séries et produits infinis formels
Exo suiv. :Formes quadratiques entières
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques
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Exercice 4-1

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Soient un nombre premier   et   trois entiers, avec   et   non divisibles par  . Montrer qu'il existe des entiers   tels que  . (Indication : combien y a-t-il de carrés dans   ?)

Exercice 4-2

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Soient   un nombre premier congru à   modulo   et   un carré dans  . Exprimer en fonction de   et   les deux racines carrées de  .

Exercice 4-3

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Que donne le lemme de Gauss pour   ?

Exercice 4-4

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Soit   un nombre premier congru à   modulo  . Montrer que la somme des entiers compris entre   et   qui sont des carrés   est égale à  . (Indication :  .)

Exercice 4-5

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Soit un nombre premier  .

  1. Démontrer le théorème de Wilson :  .
  2. En déduire que le produit des carrés non nuls de   est égal à  . (Indication :  .)

Exercice 4-6

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Soient   un nombre premier et   un entier non divisible par  .

  1. Montrer que   est une puissance  -ième   si (et seulement si)  .
  2. Pour   (donc  ), en déduire le « critère d'Euler » usuel :  .

Exercice 4-7

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  1. Montrer que pour tout nombre premier  , si   est premier alors  .
  2. Application : montrer que le nombre de Mersenne   n'est pas premier.

Exercice 4-8

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Soient   un nombre premier impair et  

On se propose de redémontrer que  , par une méthode voisine (en plus simple) de celle vue en cours pour le théorème fondamental.

On considère pour cela, dans l'anneau   (non intègre car  , le 8e polynôme cyclotomique, n'est pas irréductible sur  ), l'élément  . Démontrer que :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   est inversible ;
  4.   (indication : remarquer que  ).
  5. Conclure.

Exercice 4-9

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Le but de cet exercice est de déterminer les carrés modulo les puissances d'un nombre premier impair.

  1. Soient   un polynôme à coefficients entiers,   un nombre premier,   un entier positif et   tel que   et  .
    Montrer qu'il existe un entier   tel que  .
  2. En déduire[1] que si   est impair, tout entier non divisible par   qui est un carré   est aussi un carré   pour tout  .
  3. Ce n'est pas aussi simple si   : trouver un entier impair qui est un carré   mais pas  , et un entier impair qui est un carré   mais pas  .

Exercice 4-10

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Le but de cet exercice est de déterminer les carrés modulo les puissances de  . Soit un entier  .

  1. Quel est l'ordre du groupe multiplicatif   ?
  2. Trouver le nombre de carrés dans ce groupe, en considérant les carrés des entiers impairs compris entre   et  .
  3. Vérifier que tout carré impair est congru à  .
  4. En déduire[2] quels sont les carrés dans  .
  5. Et dans   ?

Exercice 4-11

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Soit un nombre premier  .

  1. Déduire de la loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) que  .
    La suite de l'exercice va consister à redémontrer directement que   si et seulement si   est un carré modulo  .
  2. Montrer que   si et seulement si le groupe   contient un élément d'ordre  .
  3. Montrer que les éventuels éléments d'ordre   de   sont exactement les racines dans   du polynôme  .
  4. Conclure.

Exercice 4-12

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Soit   un nombre premier différent de   et  .

  1. Déduire de la loi de réciprocité quadratique que  .
    La suite de l'exercice va consister à redémontrer directement[3] que   si et seulement si   est un carré  .
    On note   le corps fini à p2 éléments.
  2. Montrer que   si et seulement si le groupe   contient un élément d'ordre  .
  3. Montrer que les éventuels éléments d'ordre   de   sont exactement les racines dans   du polynôme  .
  4. Vérifier qu'un élément   est racine de   si et seulement si   et l'élément   est racine de  .
  5. Montrer que si   et si   est un élément d'ordre   de   alors l'élément   appartient non seulement au corps   mais au sous-corps  . (Indication : développer  .)
  6. En déduire que   si et seulement s'il existe   tel que  .
  7. Conclure.

Exercice 4-13

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Soient   et   deux nombres premiers impairs distincts. On se propose de redémontrer[4] que  .

  1. Montrer que    est le nombre de couples   tels que  .
  2. Montrer qu'un tel couple   appartient au rectangle  .
  3. Montrer que de même,    est le nombre de points   de ce même rectangle tels que  .
  4. Montrer que   est le nombre de points   de ce rectangle vérifiant soit  , soit  , et que ces deux zones sont en bijection.
  5. Conclure.

Exercice 4-14

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Wikipédia possède un article à propos de « Symbole de Jacobi ».

Le symbole de Jacobi   est défini pour tout   impair et tout   comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de   : pour toute suite finie de nombres premiers impairs   (non nécessairement distincts),  .

  1. Montrer que   si   et   sont premiers entre eux et que   sinon.
  2. A-t-on   n'est pas un carré   ? A-t-on   est un carré   ?
  3. Calculer  .
  4. Montrer que (pour   impairs)  , et en déduire que  .
  5. Montrer de même que (pour   impairs)  .
  6. Montrer que   (indication :  ).

Exercice 4-15

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Soit   un entier relatif non carré. On se propose de démontrer qu'alors, il existe une infinité de nombres premiers modulo lesquels   n'est pas un carré. On s'autorisera pour cela à utiliser non seulement la loi de réciprocité quadratique, mais aussi le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (pour une solution plus astucieuse qui se passe de ce théorème, voir le devoir « Principe local-global pour les carrés »).

On va distinguer trois cas, selon la parité des exposants   (non tous pairs) dans la décomposition

 ,

où les   sont des nombres premiers impairs distincts.

  1. On suppose dans cette question que   ne sont pas tous pairs : par exemple (quitte à permuter les  )   est impair.
    1. Montrer qu'il existe un entier   non carré   et congru à à  .
    2. Montrer qu'il existe alors une infinité de nombres premiers   congrus à   et que modulo chacun de ces  , l'entier   n'est pas un carré.
  2. On suppose maintenant que   sont pairs et   impair (autrement dit :  ). Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers   congrus à   et que pour une infinité d'entre eux,  .
  3. On suppose enfin que   sont pairs et   impair (autrement dit :  ). Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers   congrus à   et que pour une infinité d'entre eux,  .

Exercice 4-16

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Cet exercice généralise le précédent, avec les mêmes outils.

Soient   un ensemble fini de nombres premiers impairs et   l'ensemble  .

  1. Soit   une application de   dans  . Montrer que pour une infinité de nombres premiers  , on a :  .
  2. Soit   un ensemble de produits d'éléments de   tel qu'aucun produit d'éléments de   ne soit un carré à part l'inévitable produit vide, et soit   une application de   dans  .
    1. Pour tout  , on note   le vecteur du  -espace vectoriel   dont la composante   d'indice  , pour chaque  , est la parité de l'exposant de   dans la décomposition de   en facteurs « premiers » (lorsqu'on incorpore   à l'ensemble des nombres premiers).
      Montrer qu'il existe au moins une forme linéaire   sur   telle que  .
    2. En déduire, grâce à la première question, qu'il existe une infinité de nombres premiers   tels que  .
    3. En utilisant la version quantitative du théorème de la progression arithmétique, préciser la densité asymptotique relative (dans l'ensemble des nombres premiers) de cet ensemble infini de solutions  .

Exercice 4-17

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À l'aide de la loi de réciprocité quadratique, caractériser :

  1. parmi les nombres premiers  , ceux tels que   est un carré   ;
  2. parmi les nombres premiers  , ceux tels que   est un carré  .

Notes et références

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  1. C'est la méthode choisie par Gauss dans ses Recherches arithmétiques, § 101.
  2. C'est la méthode choisie par Gauss dans ses Recherches arithmétiques, § 103.
  3. Preuve de Lagrange et Gauss, présentée ici dans un style plus moderne. Pour le cas p ≡ 1 (mod 5), voir aussi la fin de L. Euler, « Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia (E449) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 18, 1774 [texte intégral] (écrit en 1772).
  4. Cette preuve est due à G. Frobenius, « Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II », Sitzungsberichte Berliner Akad., 1914, p. 484-488.