En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Résidus quadratiques Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient un nombre premier et trois entiers, avec et non divisibles par . Montrer qu'il existe des entiers tels que . (Indication : combien y a-t-il de carrés dans ?)
Solution
Dans , il y a carrés () donc dans , il y en a . Il y a donc éléments de la forme et autant de la forme . Ces deux parties de sont donc non disjointes.
En déduire que le produit des carrés non nuls de est égal à . (Indication : .)
Solution
En regroupant, dans le produit des éléments de , chaque produit d'un élément par son inverse, à l'exception des éléments et qui sont chacun leur propre inverse, on obtient : . (Remarque : pour , on a aussi, évidemment .)
Modulo , le produit des carrés non nuls de est congru à .
Soient un nombre premier et un entier non divisible par .
Montrer que est une puissance -ième si (et seulement si) .
Pour (donc ), en déduire le « critère d'Euler » usuel : .
Solution
Modulo , si alors , d'après le petit théorème de Fermat. Réciproquement, supposons que et considérons le polynôme à coefficients dans , où désigne la classe de . À nouveau d'après le petit théorème de Fermat, les éléments non nuls de sont racines de ce polynôme mais, pour des raisons de degré, au plus d'entre elles sont racines du facteur de droite. Celles qui restent sont donc racines de . Si est l'une d'entre elles, .
Pour tout entier , si alors . Appliquée à (pour ), cette remarque complète le critère dans le cas : si n'est pas un carré , non seulement n'est pas congru à , mais il est congru à .
Le but de cet exercice est de déterminer les carrés modulo les puissances d'un nombre premier impair.
Soient un polynôme à coefficients entiers, un nombre premier, un entier positif et tel que et . Montrer qu'il existe un entier tel que .
En déduire[1] que si est impair, tout entier non divisible par qui est un carré est aussi un carré pour tout .
Ce n'est pas aussi simple si : trouver un entier impair qui est un carré mais pas , et un entier impair qui est un carré mais pas .
Solution
(C'est un cas particulier du lemme de Hensel.) On cherche sous la forme . Si , . Par hypothèse, , donc on cherche tel que . Un tel existe (et est unique ) car est inversible .
Si (avec impair et non divisible par ), pour , et .
Tout entier est un carré , mais les carrés sont seulement et . Et les carrés sont seulement , et donc par exemple : est un carré mais pas et est un carré mais pas .
Les éléments du groupe sont les classes des entiers impairs compris (strictement) entre et . Leurs carrés sont donc les classes des carrés des entiers impairs compris entre et . Les entiers impairs compris entre et suffisent même, car . Et pour ces (impairs), les sont distincts , car si c'est-à-dire , un seul des deux termes du produit est pair puisque leur somme est (impaire), donc divise l'un de ces deux termes, or et donc . Le nombre de carrés est donc exactement (remarque : c'est un quart du groupe alors que dans pour et dans , c'est la moitié d'après l'exercice précédent. On peut en fait élucider complètement la structure du groupe pour p ≠ 2 et pour p = 2).
.
Dans , il n'y a que éléments congrus à , donc tous sont des carrés d'après les deux questions précédentes.
Dans , les carrés sont et les classes de la forme avec et carré dans c'est-à-dire : si , impair ; si , (c'est-à-dire, dans ces deux cas, ) ; si , . Somme toute, , ce sont simplement et les entiers de la forme .
Déduire de la loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) que . La suite de l'exercice va consister à redémontrer directement que si et seulement si est un carré modulo .
Montrer que si et seulement si le groupe contient un élément d'ordre .
Montrer que les éventuels éléments d'ordre de sont exactement les racines dans du polynôme .
Déduire de la loi de réciprocité quadratique que . La suite de l'exercice va consister à redémontrer directement[3] que si et seulement si est un carré . On note le corps fini à p2 éléments.
Montrer que si et seulement si le groupe contient un élément d'ordre .
Montrer que les éventuels éléments d'ordre de sont exactement les racines dans du polynôme .
Vérifier qu'un élément est racine de si et seulement si et l'élément est racine de .
Montrer que si et si est un élément d'ordre de alors l'élément appartient non seulement au corps mais au sous-corps . (Indication : développer .)
En déduire que si et seulement s'il existe tel que .
Conclure.
Solution
et modulo , les seuls carrés non nuls sont et .
Même raisonnement que dans l'exercice précédent.
Même raisonnement que dans l'exercice précédent.
Calcul élémentaire.
et est égal soit à (si ), soit à (si ) donc . D'après le petit théorème de Fermat, les éléments du sous-corps sont racines du polynôme , qui est de degré , donc .
Si alors il existe tel que , d'après les questions 2 à 5. Réciproquement, soit tel que . Comme l'équation est de degré et à coefficients dans , elle a une solution donc , d'après les questions 2 à 4.
Même raisonnement que dans l'exercice précédent (le discriminant de est ).
D'après le lemme de Gauss, où est le nombre d'entiers pour lesquels est de la forme avec et entiers et . C'est donc bien le nombre annoncé.
On a et , donc .
En échangeant avec et avec , on en déduit que :
où est le nombre de couples tels que ;
ces couples vérifient : .
Quand on enlève aux points à coordonnées entières du rectangle les points des deux bandes (disjointes) précédemment considérées, il reste les deux coins des vérifiant soit , soit . Ces deux coins sont en bijection par l'involution de l'ensemble des points à coordonnées entières du rectangle.
Le symbole de Jacobi est défini pour tout impair et tout comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de : pour toute suite finie de nombres premiers impairs (non nécessairement distincts), .
Montrer que si et sont premiers entre eux et que sinon.
A-t-on n'est pas un carré ? A-t-on est un carré ?
Calculer .
Montrer que (pour impairs) , et en déduire que .
Montrer de même que (pour impairs) .
Montrer que (indication : ).
Solution
Apostol p. 188-190.
Immédiat, par définition du symbole de Legendre.
Si alors n'est pas un carré , puisqu'il n'en est pas un pour un certain diviseur premier de .
Si , n'est pas nécessairement un carré . Par exemple si alors mais n'est pas un carré .
(car donc et ).
des multiples de donc de . est donc égal à .
Soient avec, sans perte de généralité, . Alors, avec . Or on a vu dans la question précédente que et de même pour . Donc .
Soit un entier relatif non carré. On se propose de démontrer qu'alors, il existe une infinité de nombres premiers modulo lesquels n'est pas un carré. On s'autorisera pour cela à utiliser non seulement la loi de réciprocité quadratique, mais aussi le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (pour une solution plus astucieuse qui se passe de ce théorème, voir le devoir « Principe local-global pour les carrés »).
On va distinguer trois cas, selon la parité des exposants (non tous pairs) dans la décomposition
,
où les sont des nombres premiers impairs distincts.
On suppose dans cette question que ne sont pas tous pairs : par exemple (quitte à permuter les ) est impair.
Montrer qu'il existe un entier non carré et congru à à .
Montrer qu'il existe alors une infinité de nombres premiers congrus à et que modulo chacun de ces , l'entier n'est pas un carré.
On suppose maintenant que sont pairs et impair (autrement dit : ). Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à et que pour une infinité d'entre eux, .
On suppose enfin que sont pairs et impair (autrement dit : ). Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à et que pour une infinité d'entre eux, .
Solution
Soit non carré . D'après le théorème des restes chinois, il existe un entier congru à et à .
Un tel est premier avec (car et ) donc il existe (par Dirichlet) une infinité de nombres premiers . Un tel étant congru à , on a :
;
pour , ;
donc .
Puisque et sont premiers entre eux, il existe (par Dirichlet) une infinité de premiers . Pour un tel qui de plus ne divise pas (ce qui n'en exclut qu'un nombre fini), on a , et , donc .
Puisque et sont premiers entre eux, il existe (par Dirichlet) une infinité de premiers . Pour un tel qui de plus ne divise pas (ce qui n'en exclut qu'un nombre fini), on a et , donc .
Paul B. Garrett, Abstract Algebra, CRC Press, 2007 [lire en ligne], p. 287 (même principe que le présent exercice mais moins bien structuré) ;
Marshall Hall, « Quadratic residues in factorization », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 39, no 10, 1933, p. 758-763 [texte intégral] (assez pointu mais commence par des remarques simples, comme le fait qu'une puissance impaire de n'est jamais un carré ).
Cet exercice généralise le précédent, avec les mêmes outils.
Soient un ensemble fini de nombres premiers impairs et l'ensemble .
Soit une application de dans . Montrer que pour une infinité de nombres premiers , on a : .
Soit un ensemble de produits d'éléments de tel qu'aucun produit d'éléments de ne soit un carré à part l'inévitable produit vide, et soit une application de dans .
Pour tout , on note le vecteur du -espace vectoriel dont la composante d'indice , pour chaque , est la parité de l'exposant de dans la décomposition de en facteurs « premiers » (lorsqu'on incorpore à l'ensemble des nombres premiers). Montrer qu'il existe au moins une forme linéaire sur telle que .
En déduire, grâce à la première question, qu'il existe une infinité de nombres premiers tels que .
Cherchons parmi les nombres premiers n'appartenant pas à .
Outre la condition , il faut, d'après la loi de réciprocité quadratique :
si : que et ;
si : que et .
La condition impose de plus, dans chacun des deux cas, un choix entre deux classes :
dans le premier cas,
dans le second cas,
Il s'agit donc de montrer que pour tout et toute application , il existe une infinité de nombres premiers tels que .
Choisissons, pour chaque , un entier tel que .
D'après le théorème des restes chinois, il existe un entier tel que .
Par construction, est impair et premier avec tous les . D'après le théorème de la progression arithmétique, il existe donc une infinité de nombres premiers , ce qui conclut.
Par hypothèse sur , la famille est libre, d'où — d'après les propriétés de la dualité — l'existence de .
Notons la base canonique de . D'après la première question, il existe une infinité de nombres premiers tels que . Pour ces , on a : .
Soit . D'après la recherche exhaustive des questions précédentes, l'ensemble des solutions est, à un ensemble fini près, l'ensemble des nombres premiers appartenant à certaines classes de congruence . Chacune a pour densité relative , et le nombre de ces classes est le produit du nombre de choix pour , soit choix, par le nombre de classes adéquates pour chaque , soit classes. La densité relative de l'ensemble des solutions est donc : .
À l'aide de la loi de réciprocité quadratique, caractériser :
parmi les nombres premiers , ceux tels que est un carré ;
parmi les nombres premiers , ceux tels que est un carré .
Solution
Remarquons d'abord que pour tous entiers et , est un carré (si et) seulement si est un carré .
est un carré si et seulement si est un carré , c'est-à-dire . Or le nombre est égal à si et seulement si : ou bien [ est divisible par et est un carré ], ou bien [ n'est pas divisible par et n'est pas un carré ], c'est-à-dire : ou bien [ ou et ], ou bien [ ou et ].
est un carré si et seulement si est un carré . Or le nombre est égal à si et seulement si ou . , donc . , donc . Par conséquent, est un carré si et seulement si : ou bien [ et ], ou bien [ et ].
↑C'est la méthode choisie par Gauss dans ses Recherches arithmétiques, § 103.
↑Preuve de Lagrange et Gauss, présentée ici dans un style plus moderne. Pour le cas p ≡ 1 (mod 5), voir aussi la fin de L. Euler, « Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia (E449) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 18, 1774 [texte intégral] (écrit en 1772).
↑Cette preuve est due à G. Frobenius, « Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II », Sitzungsberichte Berliner Akad., 1914, p. 484-488.