Introduction aux mathématiques/Relations binaires

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Relations binaires
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Chapitre no 4
Leçon : Introduction aux mathématiques
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Introduction aux mathématiques/Relations binaires
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Ici désigne un ensemble.

GénéralitésModifier

Voir aussi : Relation (mathématiques)/Définition.

Définition, exemplesModifier


Exemples :

  1. Pour  , posons  . On a  ,  ,   mais pas  .
  2. L'égalité ( ) sur   provient de  . Ici on préfèrera   à  .
  3. L'inclusion sur   :  .
  4. L'ordre sur   :  .

Qualités d'une relation binaireModifier

Soit   une relation binaire sur E.   est dite :

  • réflexive ssi   (les exemples 2, 3, et 4 ci-dessus illustrent cette propriété) ;
  • transitive ssi   (exemples 1, 2, 3, et 4) ;
  • symétrique ssi   (exemples 2 et 3 si E est vide) ;
  • antisymétrique ssi   (exemples 1, 2, 3, et 4).
  • complète ssi  

Relations d'équivalenceModifier


Début d'un lemme
Fin du lemme



Exercice
Étant donnée une partition de  , définir une relation d'équivalence canoniquement associée à la partition. Quelles en sont les classes d'équivalence ?

Relations d'ordreModifier

Voir aussi : Relation (mathématiques)/Relation d'ordre.


Éléments remarquables d'un ensemble ordonné   :



Exercice
Soit   un ordre sur  . On définit  , par  . Montrer que c’est un ordre. Quelles en sont les éléments remarquables ?

Liens avec les applicationsModifier

On s'intéresse ici à la compatibilité des applications avec les relations d'équivalence ou d'ordre.

Avec l'équivalenceModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de factorisation#Le cas des ensembles ».

Soit   une application et   une relation d'équivalence sur  . On dit que   est compatible avec   si  . Alors, l'application   passe au quotient, c'est-à-dire qu'on peut définir une nouvelle application  .

Exercices :

  1. Étant donnée une application  , la rendre canoniquement surjective. On note encore   la surjection obtenue.
  2. On considère la relation binaire sur   définie par  . Montrer qu’il s'agit d'une relation d'équivalence. Que dire de l’application obtenue en passant au quotient ?

Avec l’ordreModifier


Exemple :   est décroissante pour l'inclusion.

Exercices :

  1. Soit   croissante pour l'inclusion. Montrer que   admet un point fixe, c'est-à-dire une partie   telle que  .
  2. Soit   et   deux injections. Montrer le théorème de Cantor-Bernstein : « Il existe une bijection de   sur  . »
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Knaster-Tarski ».
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Cantor-Bernstein ».

Indications :

  1. Considérer   et  .
  2. Faire un dessin et appliquer 1/, ou aller voir sur Wikipédia…