Limites d'une fonction/Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini

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Remarque : Les théorèmes qui suivent ne figurent pas au programme de toutes les classes de terminales, voir les fiches d'exercices pour résoudre le problème sans les théorèmes.

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Cas des polynômes

Début d’un théorème

Théorème

La limite d'un polynôme en $-\infty$ et en $+\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.

Fin du théorème

Exemple

Faites ces exercices : Limites de polynômes en l'infini.

Déterminer les limites aux infinis des fonctions suivantes :

1. $g:x\mapsto -x^{2}+x+1$
2. $h:x\mapsto -2x^{3}+4x-1$
3. $k:x\mapsto {\frac {1}{2}}x^{3}-x+1$
4. $l:x\mapsto -{\frac {1}{3}}x^{7}+x^{3}+x^{2}$

Solution

1. Le terme dominant de g est $-x^{2}$

• $\lim _{x\to +\infty }-x^{2}=-\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }g(x)=-\infty$
• $\lim _{x\to -\infty }-x^{2}=-\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }g(x)=-\infty$

2. Le terme dominant de h est $-2x^{3}$

• $\lim _{x\to +\infty }-2x^{3}=-\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }h(x)=-\infty$
• $\lim _{x\to -\infty }-2x^{3}=+\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }h(x)=+\infty$

3. Le terme dominant de k est ${\frac {1}{2}}x^{3}$

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{2}}x^{3}=+\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }k(x)=+\infty$
• $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{2}}x^{3}=-\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }k(x)=-\infty$

4. Le terme dominant de l est $-{\frac {1}{3}}x^{7}$

• $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3}}x^{7}=-\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }l(x)=-\infty$
• $\lim _{x\to -\infty }-{\frac {1}{3}}x^{7}=+\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }l(x)=+\infty$

 

Cas des fractions rationnelles

Définition

Une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) est un quotient de polynômes.

​

Début d’un théorème

Théorème

La limite d'une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) en $-\infty$ et en $+\infty$ est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Fin du théorème

Exemple

Faites ces exercices : Limites de fractions rationnelles.

Déterminer les limites quand x tend vers $+\infty$ et quand x tend vers $-\infty$ des fractions rationnelles suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée.

1. $f_{1}(x)={\frac {-5x^{3}+2x^{2}-x+7}{3x^{2}+1}}$
2. $f_{2}(x)={\frac {x^{4}+2}{x^{3}+x}}$
3. $f_{3}(x)={\frac {-{\frac {1}{3}}x^{2}+5x-4}{x^{5}+1}}$
4. $f_{4}(x)={\frac {5x^{2}}{x^{2}+1}}$

Solution

Question 1

• Le terme dominant du numérateur de ƒ₁ est -5x³, donc $\lim _{x\to +\infty }-5x^{3}+2x^{2}-x+7=-\infty$
• Le terme dominant du dénominateur de ƒ₁ est 3x², donc $\lim _{x\to +\infty }3x^{2}+1=+\infty$
• En $+\infty$, on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {-\infty }{+\infty }}$
• On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₁ : ${\frac {-5x^{3}}{3x^{2}}}=-{\frac {5}{3}}x$
• On a $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {5}{3}}x=-\infty$, donc $\lim _{x\to +\infty }f_{1}(x)=-\infty$
• De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{1}(x)=+\infty$

Question 2

• Le terme dominant du numérateur de ƒ₂ est x⁴, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{4}+2=+\infty$
• Le terme dominant du dénominateur de ƒ₂ est x³, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{3}+x=+\infty$
• En $+\infty$, on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {+\infty }{+\infty }}$
• On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₂ : ${\frac {x^{4}}{x^{3}}}=x$
• On a $\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$, donc $\lim _{x\to +\infty }f_{2}(x)=+\infty$
• De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{2}(x)=-\infty$

Question 3

• Le terme dominant du numérateur de ƒ₃ est $-{\frac {1}{3}}x^{2}$, donc $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3}}x^{2}+5x-4=-\infty$
• Le terme dominant du dénominateur de ƒ₃ est x⁵, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{5}+1=+\infty$
• En $+\infty$, on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {-\infty }{+\infty }}$
• On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₃ : ${\frac {-{\frac {1}{3}}x^{2}}{x^{5}}}=-{\frac {1}{3x^{3}}}$
• On a $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3x^{3}}}=0$, donc $\lim _{x\to +\infty }f_{3}(x)=0$
• De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{3}(x)=0$

Question 4

• Le terme dominant du numérateur de ƒ₄ est 5x², donc $\lim _{x\to +\infty }5x^{2}=+\infty$
• Le terme dominant du dénominateur de ƒ₄ est x², donc $\lim _{x\to +\infty }x^{2}+1=+\infty$
• En $+\infty$, on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {+\infty }{+\infty }}$
• On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₄ : ${\frac {5x^{2}}{x^{2}}}=5$
• On a $\lim _{x\to +\infty }5=5$, donc $\lim _{x\to +\infty }f_{4}(x)=5$
• De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{4}(x)=5$