Limites d'une fonction/Exercices/Limites de polynômes en l'infini

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Exemple

Étudions les limites aux infinis de la fonction polynôme définie sur $\mathbb {R}$:

$f(x)=x^{3}-3x+5$

1. Étude « naïve » en $+\infty$.

a. Donner les limites suivantes :

$\lim _{x\to +\infty }x^{3}=........$ ; $\lim _{x\to +\infty }3x=.........$ ; $\lim _{x\to +\infty }5=...........$

b. Conclure quant à la limite de f(x):

La méthode naïve ne permet pas de conclure. On va donner une méthode qui permet de lever l’indétermination pour toutes les fonctions polynômes.

2. Factoriser

On appelle terme dominant de ƒ(x) le terme de plus haut degré. Mettons le en facteur pour obtenir :

$f(x)=x^{3}\times (........+.........+...........)$

3. Conclure

a. Donner les limites suivantes :

$\lim _{x\to +\infty }x^{3}=........$ ; $\lim _{x\to +\infty }(........+.........+...........)=.........$

b. Conclure :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=........$

Solution

1. On peut aisément se convaincre que la fonction $\textstyle x\mapsto x^{3}$ est croissante, et même strictement croissante pour x > 0. Ainsi, rien n'arrête sa croissance, et plus x est grand, plus la valeur de cette fonction l'est. Quand x devient infini, x³ devient infini, par conséquent :

$\lim _{x\to +\infty }x^{3}=+\infty$.

Par les mêmes arguments,

$\lim _{x\to +\infty }3x=+\infty$.

En revanche, la fonction $\textstyle x\mapsto 5$ est une fonction constante : sa valeur ne dépend pas de x. Aussi grand soit-il, cette fonction a toujours pour valeur 5, même lorsque x devient infini. Par conséquent :

$\lim _{x\to +\infty }5=5$

Seulement nous sommes face à un problème si on essaie de trouver la limite du polynôme par cette méthode : en effet, nous serions amenés à « soustraire l'infini à l'infini », opération qui n'a pas de sens (et ne donne surtout pas zéro, comme nous le verrons). On parle d'« indétermination » de la limite en +∞.

2. Le terme de plus haut facteur dans ƒ : $f(x)=x^{3}-3x+5$ est « x³, nous allons donc le mettre en facteur :

${\begin{aligned}f(x)&=x^{3}-3x+5\\\ &=x^{3}\left(1-{\frac {3x}{x^{3}}}+{\frac {5}{x^{3}}}\right)\\\ &=x^{3}\left(1-3{\frac {1}{x^{2}}}+5{\frac {1}{x^{3}}}\right)\end{aligned}}$

3. Comme vu dans la première question :

$\lim _{x\to +\infty }x^{3}=+\infty$

En revanche, lorsque x → ∞, 1/x² → 0 et 1/x³ → 0 donc :

$\lim _{x\to +\infty }\left(1-3{\frac {1}{x^{2}}}+5{\frac {1}{x^{3}}}\right)=1-0+0=1$

Nous avons ainsi levé l'indétermination, puisque la limite est clairement :

$\lim _{x\to +\infty }f\left(x\right)=+\infty$

Cette méthode (factoriser pour lever l'indétermination) est à bien connaître, puisqu'elle permet toujours de résoudre le problème pour les polynômes.

 

Exercice

Déterminer les limites aux infinis des fonctions suivantes :

1. $g(x)=-x^{2}+x+1$

2. $h(x)=-2x^{3}+4x-1$

3. $k(x)={\frac {1}{2}}x^{3}-x+1$

4. $l(x)=-{\frac {1}{3}}x^{7}+x^{3}+x^{2}$

Solution

Nous calculons les limites en ±∞ :

1. $g(x)=-x^{2}+x+1=-x^{2}\left(1-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$

Ainsi :

$\lim _{x\to +\infty }g\left(x\right)=-\infty$ $\lim _{x\to -\infty }g\left(x\right)=-\infty$

2. $h(x)=-2x^{3}+4x-1=-2x^{3}\left(1-{\frac {4x}{2x^{3}}}+{\frac {1}{2x^{3}}}\right)=-2x^{3}\left(1-2{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{x^{3}}}\right)$

Ainsi :

$\lim _{x\to +\infty }h\left(x\right)=-\infty$ $\lim _{x\to -\infty }h\left(x\right)=+\infty$

3. $k(x)={\frac {1}{2}}x^{3}-x+1={\frac {1}{2}}x^{3}\left(1-2{\frac {1}{x^{2}}}+2{\frac {1}{x^{3}}}\right)$

Ainsi :

$\lim _{x\to +\infty }k\left(x\right)=+\infty$ $\lim _{x\to -\infty }k\left(x\right)=-\infty$

4. $k(x)=-{\frac {1}{3}}x^{7}+x^{3}+x^{2}=-{\frac {1}{3}}x^{7}\left(1-3{\frac {1}{x^{4}}}-3{\frac {1}{x^{5}}}\right)$

Ainsi :

$\lim _{x\to +\infty }k\left(x\right)=-\infty$ $\lim _{x\to -\infty }k\left(x\right)=+\infty$